Quantität. 
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Quantität. 
(a n )P = a n P. 
III. „Das Product von Zahlen wird 
zu einer Potenz erhoben, wenn man jede 
zu der entsprechenden Potenz erhebt, 
und diese Potenzen multiplicirt.“ 
/ , \7l n.n n 
(abc . . .) ~a b c ... 
Es ist aber ersichtlich, dass diese drei 
Sätze ihre volle Gültigkeit behalten, 
wenn die Basis negativ oder ein Bruch 
werden sollte. Denn da das Potenziren 
ein wiederholtes Multipliciren ist, so be 
hält dasselbe seine volle Bedeutung, ab 
gesehen von dem Werthe der Basis, 
denn was dies auch für eine Zahl sei, 
so ist sie nach dem Vorigen der Ope 
ration des Multiplicirens zugänglich, und 
die Schlüsse, welche zu diesen drei 
Sätzen führten, behalten ihre Kraft. 
Dem ersten Satze stellen wir nun eine 
zweite gegenüber, welche sich auf die 
Division der Potenzen bezieht. 
Soll eine Zahl zur (n—p)ten Potenz 
erhoben, also die Einheit (n— p)mal mit 
a multiplicirt werden, so kann dies zu 
nächst nmal geschehen, und dann p 
Factoren a weggeschafft werden, was 
offenbar geschieht, wenn man das Re 
sultat durch ihr Product, d. h. durch die 
p te Potenz von a dividirt. Man hat 
also: 
n 
n—p « 
a 1 zz —, 
dessen Zähler die Einheit, dessen Nen 
ner die positive Potenz bildet.“ 
Dieser Satz bildet die Definition der 
negativen Potenzen. Man sieht leicht, 
dass für solche alle bisher entwickelten 
Sätze gelten. Denn es ist: 
1 1 
p n+p 
a l a 1 
womit Satz I. bewiesen ist; ebenso folgt 
Satz IV. 
Satz II. ist selbstverständlich, wenn 
der erste Exponent negativ ist, denn: 
Ist der erste positiv und der zweite ne 
gativ, so hat man: 
n —p 1 1 —np 
(« ) = = -a r , 
{a n )P a n P 
aber auch: 
np 
(«"V 
so dass Satz II. für alle Fälle gilt. 
Satz III. erhalten wir eben so leicht, da: 
1 1 
(« • h)~ n — 
1 — n - 
— — a b 
(fl b Y 
d h.: 
IV. „Eine Potenz wird durch eine an 
dere derselben Basis dividirt, wenn man 
die Exponenten derselben subtrahirt.“ 
In a n P ist nun n—p so lange po 
sitiv, als p kleiner als n ist. Indess be 
hält der Ausdruck a n P noch einen 
Sinn, wenn auch n kleiner als p, also 
n—p negativ ist. Denn übertragen wir 
die Thätigkeit, welche zum Subtrahiren 
und somit zum Begriff der negativen 
Zahl führte, auf den Begriff des Poten- 
zirens, immer steht der Thätigkeit des 
Hinzufügens von Factoren a zur Ein 
heit die des Wegschaffens von Factoren, 
d. h. des Dividirens derselben entgegen, 
und es bedeutet somit a n nichts an 
deres, als dass die Einheit durch n Fac 
toren a dividirt werden soll. Somit ist: 
—n 1 
a — —• 
n 
a 
„Eine negative Potenz ist ein Bruch, 
ist. Wir verbinden aber mit diesem 
Satze jetzt noch einen andern, der sich 
auf den Fall bezieht, wo die Basis ein 
Bruch ist. 
Man hat dann z. B.: 
( o V _ a • a • a _ a 3 
T/ ~ b-bTb “ 6*’ 
und; 
x— 3 1 — 3 
a \ 1 _ /D _ a 
hJ a • a • a~ a 3 ~ ^ — 3 
b • b • b 
V. „Ein Bruch wird zu einer Potenz 
erhoben, indem man die entsprechende 
Potenz des Zählers durch die des Nen 
ners dividirt.“ 
Die negativen Potenzen entstehen aus 
der Betrachtung, dass dem Hinzufügen 
von Factoren ein Wegnehmen entgegen 
steht. Man kann aber auch nach der 
Operation fragen, welche dem Potenziren 
selbst so entgegensteht, wie das Subtra 
hiren dem Addiren. Sei: