Quantität. 
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Quantität. 
n , 
a ~b, 
so ist durch Potenzircn mit n von a zu 
b übergegangen worden. Geht man auf 
demselben Wege von b nach a zurück, 
d. h. mittels der Operation, die von b 
zu a führt, so nennt man dieselbe Aus 
ziehen der n ten Wurzel. Es ist also a 
die wte Wurzel aus b, und: 
„Aus einer Zahl b die nte Wurzel 
auszichen, heisst diejenige a finden, welche 
zur wten Potenz erhoben b gibt.“ 
n 
Es ist somit, wenn man mit \ die wte 
Wurzel bezeichnet, immer wenn: 
« , 
a —b 
ist, auch; 
n 
sT 
II 
und : 
11 
h = (yb) n . 
b heisst hier Radicand, n Wurzelexpo- 
n 
nent, und a — ~yb Wurzel. 
Wurzeln führen immer zu schon be 
kannten Zahlen, positiven oder negativen, 
ganzen oder Brüchen, wenn b wirklich 
die nte Potenz einer gegebenen a ist. 
Immer aber lässt sich zeigen, dsss wenn 
b positiv ist, ein Ausdruck gefunden 
werden kann, der sich mit beliebig klei- 
n 
ner Abweichung dem Werthe von \b 
annähert. 
Man sehe hierüber den Artikel: Qua 
dratwurzel, da die dort angestellten Be 
trachtungen sich auf gleiche Weise auf 
höhere Wurzeln erstrecken. 
Continuirlichkeit der Grössen, mit de 
nen man operirt, vorausgesetzt, führen 
also die Wurzeln der positiven Zahlen 
auf etwas wirklich Vorhandenes, denn 
wenn das Gebiet, mit dem man sich be 
schäftigt, die Eigenschaft der Theilbar- 
keit bis ins Unendliche besitzt, so kann 
n 
man yb, obgleich man den wahren Werth 
davon nie völlig erreicht, doch als in 
diesem Gebiete vorhanden annehmen. 
Dies führt zu dem Begriffe der Irratio 
nalzahlen, oder der Zahlen, denen man 
sich nur annähern kann, wo dies aber 
mit beliebiger Genauigkeit geschieht. 
Alles, was von Brüchen gilt, gilt je 
doch auch von Irrationalzahlen. Man 
setzt nämlich für dieselben die Brüche, 
welche ihnen auf ein beliebig Kleines 
nahe kommen, und Alles, was sich aus 
den Rechnungen mit denselben ergibt, 
kann als dem Rechnen mit den irratio 
nalen Zahlen selbst angehörig betrachtet 
werden. 
Das Rechnen mit Wurzeln führt aber 
auch noch auf zwei andere höchst wich 
tige Begriffe; zunächst auf eine neue 
Zahlenart, die imaginären Zahlen, von 
denen nachher die Rede sein soll, und 
die sich schon beim Ausziehen der Qua 
dratwurzeln ergeben. Das andere aber 
ist der Begriff der mehrdeutigen Ope 
ration. 
Im Artikel Quadratwurzel ist gezeigt, 
dass y« sowohl positiv als negativ sein 
kann, also zwei Werthe hat. Aus der 
Betrachtung, dass jede Gleichung nten 
Grades n Wurzeln hat, also auch die 
n n 
Gleichung x = a, d. h,: x~yanWerthe, 
folgt, dass jede nte Wurzel n Werthe 
hat, also «deutig ist, wobei jedoch auch 
imaginäre Werthe hinzukommen. Es 
kann jedoch bei diesen Gegenständen 
hier, wo wir nur die Entstehung der 
Quantitäten aus den Grundoperationen 
verfolgen, nicht verweilt werden. 
Wir kehren also zum Begriff der Wur 
zel zurück, und schliessen an denselben 
den der Potenz mit gebrochenem Expo 
nenten an. 
Zunächst gibt es über die Wurzeln, 
Sätze, die den mit II., III. und V. be- 
zeichneten dieses Abschnittes entsprechen. 
Es ist nach der Definition: 
{yab) n = ab, 
zugleich aber: 
( n n \ n n 
y a yb) n nach Satz III. =y a n yb n =ab, 
also: 
n n n 
yab — ya yb, 
oder: 
VI, „ Aus einem Producte wird eine 
Wurzel ausgezogen, indem man sie aus 
jedem Factor auszieht, und diese Wur 
zelgrössen multiplicirt.“ 
Eben so hat man: 
n 
aber auch nach Satz V.: 
ii \ n 
n I n ~ b ’ 
i/kJ w«