Quantität. 
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Quantität. 
„Eine Potenz mit gebrochenem Ex 
ponenten , dessen Zähler 1 ist, bedeutet 
nichts anders als diejenige Wurzel, welche 
der Nenner anzeigt.“ 
Sei jetzt der Zähler beliebig, also 
P_ 
d n die gesuchte Potenz. Da man hat 
V 1 
— —, so ist das Erheben zur Po- 
rn m 
P 
tcnz — nichts anders, als die Erhebung 
m 
zur Potenz —»mal wiederholt, d. h.; 
m 
P 
— m 
in ,, » 
a = \a'. 
„Eine Potenz mit beliebigen gebroche 
nen Exponenten gibt diejenige Wurzel 
an, welche der Nenner, und diejenige 
Potenz, welche der Zähler anzeigt.“ 
Dass sich in den Bruchpotenzen Zäh 
ler und Nenner heben lassen, folgt schon 
aus Satz X. Indess ist hierbei noch 
eine Bemerkung zu machen. Jede Wur 
zel hat, wie oben bemerkt, so viel Werthe 
als ihr Exponent anzeigt. Beim Heben 
wird nun die Anzahl dieser Werthe klei 
ner, und daher ist die Identität zwischen 
mp p 
\(d nn ) und yd 1 nur derart vorhanden, 
dass jeder Werth der letztem Grösse 
einem Werthe der erstem gleich ist, 
nicht aber umgekehrt. 
So ist z. B. die Gleichung: 
die Exponenten Brüche sind. Man hat 
nämlich offenbar, mit Anwendung frü 
herer Sätze: 
in_ p n q nq nq 
a n «?=//' iaP^Yd^ y^P n 
n 9 n( I mq+pn 
= id n, l. d m =y a m( l + P n -a n( l 
was der Satz I. in Bezug auf Bruch 
potenzen ist, und ebenso: 
nq mq—pn m p 
= yd a 9-P n =a n( i =a* ~ V, 
also: 
a 
m 
n 
m 
n 
a 
P_ 
1 
JL 
9 
\a x =a 2 
3 
zu verstehen. Es kann = et 2 und gleich 
—a 2 sein, während der Ausdruck a 4 
rechts eindeutig ist. 
Die Bedeutung von Bruchpotenzen mit 
negativem Exponenten erliegt keiner 
Schwierigkeit, da hier nur beide Defi 
nitionen der negativen und der Bruch 
potenz zu combiniren sind. Immer ist: 
Die Allgemeingültigkeit der mit II., III. 
und V. bezeichneten Sätze auch für 
Bruchpotenzen folgt unmittelbar aus den 
für Wurzeln gegebenen Sätzen VI. bis 
X., und ist nur ein anderer Ausdruck 
für dieselben. 
Was die Sätze I. und IV. anbetrifft, 
so haben wir für sie keine Analogie in 
Bezug auf Wurzeln gegeben. Indess sind 
diese Sätze vollständig gültig, wenn auch 
was mit Satz IV. übereinstimmt. 
Mit Hülfe der Definitionen der nega 
tiven und Bruch-Potenzen kann nun der 
Begriff der Wurzel ganz durch den der 
Bruchpotenz ersetzt werden, und die 
Theorie derselben ist in den Sätzen I. 
bis V. völlig enthalten. 
Dem Potenziren steht nicht, wie dem 
Addiren und Multipliciren, nur eine in- 
directe Operation, sondern deren zwei, 
nebst dem Wurzelausziehen noch das 
Auffinden der Logarithmen entgegen. 
Da diese Uebersicht aber hauptsächlich 
den Zweck hat, die Zahlformen aufzu 
finden , die sich bei den verschiedenen 
Rechnungen ergeben, so übergehen wir 
diese Operation hier, da sie nicht zu 
neuen Zahlformen führt, indem wir das 
auf die Logarithmen Bezügliche dem ent 
sprechenden Artikel überlassen. 
Der Erörterung der imaginären Quan 
titäten aber wollen wir einen eigenen 
Artikel widmen, da die genauere Unter 
suchung dieser Grössen weiter in das 
Gebiet der Analysis hineinführt, als wir