Quantität. 
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Quantität. 
eine Specialisirung der Aufgabe zeigt, 
dass deren Auflösung eine imaginäre 
Zahl gibt. Hieraus folgt: 
I. „Das Rechnen mit imaginären und 
complexen Zahlen geschieht derart, dass 
man in dem Ausdrucke a-j- ßi i behan 
delt wie eine reelle und unbestimmte 
Buchstabengrüsse, aber der Definition 
und der Rechnungsregel gemäss: 
i 2 = y(—1)* = —1 
setzt, also immer, wo sich das Quadrat 
von i einstellt, dies mit der negativen 
Einheit vertauscht.“ 
Es ist also sonach z. B., indem man 
i sich als willkürlich denkt und einen 
Satz vom Multipliciren anwendet: 
(«-f-ßi) (/-f di) = ay + {ßy-\- ad)i+ßdi 2 
= c<y — /ScF-f- (ßy 4- «d) i. 
Es ist aber bereits in dem Artikel „Qua 
dratwurzel“ gezeigt woi'den, dass eine 
negative Zahl weder eine positive noch 
eine negative Quadratwurzel haben kann. 
Da nun alle Zahlen, welche durch Ver 
mehren oder Vermindern aus der Ein 
heit entstehen, entweder negativ oder 
positiv (ganz oder gebrochen) sind, so 
steht der Ausdruck y(—1) oder y( — « 2 ) 
in keiner Grössenbezichung zur Einheit; 
er kann nicht im eigentlichen Sinne als 
Grösse oder Quantität bezeichnet wer 
den. Wesentlich unterscheidet sich hier 
durch das Imaginäre von allen den Aus 
drücken, negativen Zahlen, Brüchen, Irra 
tionalzahlen, welche sich beim indirecten 
Operiren ergeben. Während nämlich 
bei gewissen Anwendungen diesen 
Grössen möglicherweise die Realität nicht 
zukommt, so ist dies doch (siehe den 
vorigen Artikel) bei gewissen andern An 
wendungen jedesmal der Fall, und na 
mentlich in der allgemeinen Grössen 
oder Zahlenlehre kommt ihnen diese 
Realität zu, indem sie immer eine an 
sich einen Sinn habende Operation an- 
zeigen, z. B. die negative Zahl die des 
Abziehens, der Bruch die des Theilens. 
Beim Imaginären ist dies nie der Fall. 
Es kann keine Grösse gehen, welche 
durch Ausziehen der Wurzel aus —1 
entstände. Sprechen wir daher von ima 
ginären Grössen oder Quantitäten, so 
ist dies ein uneigentlicher Ausdruck, den 
wir eben nur des Gebrauchs wegen an 
nehmen. Der Ausdruck imaginäre Zahl 
ist richtiger, weil wir bei dem Worte 
Zahl in seiner allgemeinen Bedeutung 
eben nur an die Resultate von Rech 
nungsoperationen, gleichviel, ob diesel 
ben auf reelle Grössen führen oder nicht, 
zu denken veranlasst sind. 
Es scheint sonach, wenn man nur 
das eben Gesagte berücksichtigt, das 
Rechnen mit dem Imaginären nur die 
Bedeutung zu haben, dass wenn ein 
Resultat einer Aufgabe auf solche oder 
complexe Zahlen führt, damit angedeutet 
ist, dass die Aufgabe des Resultates ent 
behre, dass derselben aber an sich nichts 
Widersinniges zu Grunde liege, sondern 
dass nur die gewählten Grössenverhält 
nisse so getroffen sind, dass sie keine 
Lösung zulassen. Z. B. sollte man den 
Flächeninhalt eines Dreiecks berechnen, 
dessen Seiten 9, 5 und 2 Fuss sind, so 
würde die Lösung auf einen imaginären 
Ausdruck führen, welcher andeutet, dass 
zwar aus drei Seiten eines Dreieckes 
sich der Flächeninhalt desselben ergebe, 
dass aber ein solches Dreieck unmöglich 
sei bei den gewählten Maassverhält 
nissen, da in keinem Dreiecke die Summe 
zweier Seiteu kleiner als die dritte sein 
kann. 
Aber schon diese beschränkte Auf 
fassung des Rechnens mit imaginären 
Grössen als blosser Nachweis, dass eine 
Aufgabe unmöglich sei, zeigt die Noth- 
wendigkeit, sich mit diesen Grössen zu 
beschäftigen, und die Art, wie dies ge 
schehen muss, nämlich der gegebenen 
Regel I. gemäss. Namentlich aber muss 
man wissen, wann durch Verbindung 
imaginärer Ausdrücke sich ein reelles 
Resultat ergibt, wie dies ja geschehen 
kann, in welchem Falle dann die Auf 
gabe einer Lösung zugänglich ist. Es 
kommt daher darauf an, mit Benutzung 
der Regel I. die Resultate der Rech 
nung mit complexen und imaginären 
Zahlen auf ihre einfachsten Formen zu 
rückzuführen, und is.t dabei ein Erwägen 
der Bedeutung der einzelnen Operationen 
in Bezug auf das Imaginäre nöthig. 
Das Resultat dieser Erwägung ist dann 
in dem sogleich zu begründenden, höchst 
wichtigen Satze enthalten: 
II. „ Alles Rechnen mit complexen 
Zahlen von der Form n+ßi führt immer 
auf eine ähnliche Form zurück.“ 
Aber noch von einem andern Gesichts 
punkte aus zeigt sich die Nothwendig- 
keit des Operirens mit complexen Zah 
len, wenngleich dieser Gesichtspunkt sich 
nicht a priori ergibt, sondern erst mit 
dem Fortschreiten der mathematischen 
Wissenschaften gefunden werden konnte. 
Es finden nämlich zwischen verschiede 
nen Functionen und Grössen, auf die 
man von ganz verschiedenen Betrachtun 
gen aus gekommen ist, Beziehungen 
statt, welche erst durch den Gebrauch 
des Imaginären vermittelt und aufgefun-