Quantität. 
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Quantität. 
den werden kann. Als Beispiel diene der gewöhnlichen Rechnungsgesetze diese 
die Beziehung zwischen den Exponen- Gleichung die Form annehmen: 
tial-Grössen und den trigonometrischen, a——ßi 
welche bestimmt ist durch die Gleichung: p ’ 
und wenn man auf beiden Seiten ins 
e fa = cos«+isin«. Quadrat erhebt: 
Ferner lassen sich gewisse Sätze erst 
bequem aussprechen, wenn man das Ima 
ginäre einführt, z. B. der Satz, dass jede 
Gleichung nten Grades auch n Wurzeln 
habe, die Beziehung zwischen quadra 
tischen Factoren eines Polynoms und 
den Wurzeln einer Gleichung (siehe den 
Artikel: quadratischer Factor) würde aber 
ganz wegfallen, wenn das Imaginäre nicht 
in Betracht käme. Dass dieser Gesichts 
punkt von Wichtigkeit ist, zeigt der Um 
stand, dass er auch in anderer Weise sich 
bewährt hat. Ganz ähnlichen Betrachtun 
gen, auf Congruenzen angewendet, ver 
danken das Galois’sche Imaginäre in der 
Zahlenlehre und die Kummer’schen idea 
len Zahlen ihre Entstehung, von denen 
namentlich die letzteren so wichtig ge 
worden sind. — Endlich, und dieser Ge 
sichtspunkt ist namentlich in der neuesten 
Zeit eröffnet worden, sind gewisse Ge 
setze der Functionen nur zu finden, wenn 
man neben dem Reellen auch das Ima 
ginäre berücksichtigt. Die Mehrdeutig 
keit der Integrale hat nur bei dessen 
Gebrauch einen Sinn. Die Grenzen der 
Convergenz einer Potenzreihe kann nur 
gefunden werden, wenn man neben den 
reellen Werthen der Variablen auch die 
complexen in Betracht zieht u. s. f. 
Es ist somit nothwendig, die Zahl 
i = ]/—1 als neues Element in die Rech 
nung einzuführen, ohne sich um die Be 
deutung dieses Ausdruckes zu kümmern. 
Der mit I. bezeichnete Satz gewährt die 
Möglichkeit des Rechnens mit i. 
Es bleibt noch übrig, den Sinn und 
die Bedeutung der verschiedenen Ope 
rationen mit Bezug auf complexe Zah 
len zu prüfen, und den mit II, bezeich 
nten Satz zu beweisen. 
2) Die Operationen mit com 
plexen Zahlen. 
Zunächst bemerken wir, dass die Glei 
chung : 
a -j-ßi — 0 
nur die Bedeutung haben kann, dass 
sowohl u als ß einzeln gleich Null sind, 
oder: 
I. „Eine complexe Zahl kann nur 
dann der Null gleich sein, wenn dies 
mit dem reellen und dem imaginären 
Theile einzeln stattfindet.“ 
In der That würde bei Anwendung 
a 2 =ßH* =-ß 2 . 
Es würde also, da « a und ß 2 nicht ne 
gativ sind, diese Gleichung auf den Wi 
dersinn führen, dass eine positive Zahl 
einer negativen identisch ist, und diesem 
ist nur zu entgehen, wenn man « = ß — 0 
setzt. 
„Wir können also jede Gleichung von 
der Form a+ßi — 0 lediglich als ein 
Symbol fassen, welches unter einer ge 
meinschaftlichen Form die beiden Glei 
chungen : 
« = 0, ß — 0 
umfasst.“ 
Die Anwendung der Additions- und 
Subtractionsregel auf complexe Zahlen 
macht keine Schwierigkeit. Denken wir 
uns nach Satz I. des vorigen Abschnittes 
zunächst i als eine willkürliche Grösse, 
so ist; 
n -f- ß i + (y -f- d'i) = a + y -f- (ß + d)i, 
und somit hat man immer folgenden 
Satz, der die Summen und Differenzen 
complexer'Zahlen so finden lehrt, dass 
sich Satz II. des vorigen Abschnittes 
dabei bestätigt, 
II. „ Zwei complexe Zahlen werden 
addirt und subtrahirt, wenn man im 
ersten Falle die Summe, im zweiten Falle 
die Differenz des reellen und des mit i 
multiplicirten Theils einzeln bildet.“ 
Es folgt hieraus auch, dass man die 
Gleichung: 
u-{-ßi—y-\-di 
auf die Form: 
(«—y)+(ß—d)i — 0 
bringen kann, woraus sich nach Satz I. 
ergibt: 
a = y, ß=c?, 
d. h.: 
„Zwei complexe Zahlen können nur 
dann gleich sein, wenn die reellen und 
imaginären Theile einzeln gleich sind.“ 
Seien jetzt die Ausdrücke u+ßi und 
y-\-di zu multipliciren. 
Denkt man wieder zunächst i allge- 
gemein, so hat man: 
(«-f ßi) • (y di) = cey + i {ßy + <*d) 
+ i 1 M 
und wenn man: 
setzt: 
i 2 = -1