Quadrat. Form (Zahlenlehre). 58 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
Quadrat. Foi 
Zeichen von a, b, c umkehrt, so ist auch 
a — a x und c—«, nie negativ, also ~^2h 
wenigstens gleich c und wenigstens gleich 
a. Es muss also 
a — C — -\2b — a L 
sein, da c^a^2b ist, und die Gleichung 
a+a—a l <a auch a x —a gibt. 
Noch ist 
ad — l-\-ß y; 
also da 
b' = anß-j-b(nd+/Sy) + eyd 
war, auch: 
b' — aaß-\- aßy + 6 + a yd. 
Hieraus ergibt sich; 
b'—b = ka, 
wo k eine ganze Zahl ist, und ganz wie 
oben lässt sich schliessen, dass 1/ — b 
einen der Werthe 
0, a und —a 
haben muss. Dies führt aber zu den 
schon dagewesenen Formen; f («, — «) 
und /’(«, +|, «)• 
Es sind also nur 2 Paare äquivalen 
ter Formen möglich: 
f(a, |, c) und /(«, —c), 
f(a, h, a) und (a, —b, a). 
Noch ist zu beweisen, dass diese 
möglicher Weise äquivalenten Formen 
auch wirklich Vorkommen. Macht man 
in Form /"(«, b, c) die Substitution 
L’ U, so erhält man f (a, aß + b, c k ); 
für h — ß = 1 nehmen diese Aus 
drücke aber die zuerst gegebenen Werthe 
/■(«> 2’ c )’ “Y* c ) an - 
Setzt man ferner in f(a, b,a), x=y lt 
y — x v , so führt dies zu f\a, —b, «), 
somit kommen beide Paare auch wirk 
lich vor. 
17) Man kann sonach die eigentlich 
äquivalenten Formen mit negativer De 
terminante in Klassen theilen, und mit 
Ausnahme dieser beiden Fälle gibt es 
zu jeder Klasse nur eine reducirte Form, 
von der man sagt sie repräsentire diese 
Klasse. 
Es gibt also nach dem in 16) Gesag 
ten für die Determinante —1 und —2 
je eine, für —3 und —4 je 2 Klassen. 
Wir nehmen jetzt an, a, 2b und c hät 
ten keinen Factor gemein. Es soll jetzt 
untersucht werden, welche Zahlen durch 
eine gegebene Form mit negativer De 
terminante, und wie oft dieselben durch 
dieselbe dargestellt werden können. 
Wir haben bereits in 8) angenommen, 
dass in der Gleichung 
ax 2 -\-2hxy + cy 2 —in 
x und y relative Primzahlen sein. Diese 
Zahl m sei positiv ungrade, und eine 
relative Primzahl in Bezug zur Deter 
minante , so muss die Darstellung, wie 
oben gezeigt wurde, zu irgend einem 
Werthe von mod in gehören. Seien 
m, n x , n a . . . diese Werthe von Yd. 
Es gibt dann zu jedem n eine 
Darstellung durch eine redu 
cirte Form und zwar nur eine. 
Denn damit in durch die gegebene 
Form darstellbar sei, muss sie mit 
ji 2 — ]) 
f(m, n, ) äquivalent sein. Es ist 
m 
aber nur eine reducirte Form mit der 
letztem äquivalent, wie wir oben gesehen 
haben, und diese reducirte Form vertritt 
n* — D 
die Klasse, zu der /' (in, n, —) und 
in 
/■(«, b, c) gehören. Die Zahlen in, n 
und p 
D 
haben keinen gemein 
schaftlichen Factor, denn jeder Factor 
von in und n muss ein solcher von 
D ~n 2 —inp sein, und es ist vorausge 
setzt, dass m und D keinen Factor ge 
mein haben. Da in ausserdem ungi-aile 
ist, so haben auch in, 2n und 
keinen Factor gemein. 
D 
18) Es soll jetzt die Anzahl der Dar 
stellungen, die für in möglich sind, ge 
funden werden. 
Es war 
« t = at — (ab + yc)u, 
7i =yt+(aa+yb)u, 
<a+Am j = 1. 
Ist A grösser als 1, so gibt es nur 2 
Auflösungen dieser Gleichung, nämlich 
u — 0, t — -j~l; 
ist A=l, so ist entweder: 
l — j 1, m — 0 
oder 
< = 0, u— +1. 
Es gibt also im Allgemeinen 2 Darstel 
lungen, welche den Werthen: 
a t = +« und y x — 
entsprechen. Nur wenn A = 1 ist, gibt 
es 4 Auflösungen. Im Allgemeinen also 
hat man doppelt 
als die Congruen 
s 2 = 
Wurzeln hat; wen 
man 4 Mal so vi 
Möge /u die 
Factoren von in 
diese Factoren s 
Exponenten der P 
bezüglich vorkom 
h. 
m = l x 1 l 
Wenn ; 2 = /l moi 
Reciprocitätsgeset 
Reste (siehe der 
Rest): 
$=(!)= 
Es stellt nämlich 
je nachdem D cj 
Nichtrest von l h 
Die Anzahl de 
gruenz = Dmo 
der Darstellungen 
sprechen, 2^^ , 
Es sei A = l. 
f(in, 
äquivalent mit 
/■(1 
denn diese Werth 
A = 1 entsprech 
(Abschnitt 13). I 
x 2 -| 
Da aber 
sein muss, ss müs 
toren von in alle 
sein (siehe den 
Rest), d. h. wenn 
das Vorzeichen d< 
rücksich tigt (wo 
Darstellungen auf 
cirt wird), hat ma 
„Jedes Product 
der Form 4/s+l, 
ser Factoren ist, 
durch die Summe 
drücken.“