Quantität. 
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selben gelten also für jeden reellen Werth 
von x. lieber die Formel III a. ist aber 
eine wichtige Bemerkung zu machen. 
Brucbpotenzen sind, wie wir im vorigen 
Artikel gesehen haben, mehrdeutige 
Grössen, und Potenzen mit irrationalen 
Exponenten sogar unendlich vieldeutig, 
da der Nenner des Exponenten unend 
lich gross zu denken ist. Definirt man 
dagegen die Grösse e x immer durch For 
mel III., so ist e x eindeutig, da n eine 
ganze Zahl ist und daher nur einen Werth 
gibt. Gleiches folgt, wenn man x durch 
Reihe lila, definirt. 
„Der Ausdruck e wird also immer 
als eine eindeutige Function von x auf 
gefasst, welchen reellen Werth auch x 
habe, und ist durch Formel III a. völlig 
bestimmt. Dieser Werth von e x ist aber 
immer positiv, so lange x reell bleibt.“ 
In der That sind: lim 
und 
( 1+ 'ä 
lim beide positiv, wenn man 
n wachsend und positiv denkt. Da nun 
jede Wurzel nur höchstens einen reellen 
und positiven Werth hat, so ist, falls x 
ein Bruch ist, leicht aus der Reihe der 
Werthe von e x , welche man bei einer 
andern Definition dieser Grösse erhalten 
würde, der zu bestimmen, welcher der 
jetzigen Definition entspricht. 
Um nun die Definition von e X auf 
imaginäres x auszudehnen, bemerken 
wir, dass zunächst der Ausdruck (« + /Ji) s 
immer eine Bedeutung hat, wenn s eine 
positive ganze Zahl ist, denn in diesem 
Falle hat man es ja mit einem wieder 
holten Multipliciren zu thun, und kann 
die Regel III. des vorigen Abschnittes 
anwenden. Auch kann s eine negative 
ganze Zahl sein; man setzt dann: 
(«+/»*) = 
(a+ßi) 
und die Sätze III. und IV. des vorigen 
Abschnittes gehen das Nöthige, so dass 
in diesen Fällen 
oder («+/Si) s 
sich immer wieder auf complexe Grössen 
a-\-bi zurückführen lassen. 
Diese Betrachtungen machen es mög 
lich, die Grösse e X für complexes x zu 
definiren, indem wir sagen: „dass e x für 
beliebiges x durch die Formel III. oder 
III a. gegeben sein soll.“ Da die For 
mel lila, nur Potenzen von x enthält, so 
gibt sie nach dem Obigen wieder eine 
complexe Grösse. Die Identität beider 
Definitionen ergibt sich daraus, dass die 
Entwicklung von ^1+—y i nach dem Bi 
nomischen Satze richtig bleibt, wenn auch 
x imaginär ist. Denn wenn man n als 
ganze Zahl denkt, so drückt ja der Bi 
nomische Satz nur die Regel für ein wie 
derholtes Multipliciren von 1 + — mit 
n 
sich selbst aus, welche Regel ihre volle 
Anwendung auch für imaginäres x nach 
dem Obigen findet. 
Es ist jedoch noch zu zeigen, dass die 
Entwicklung von e x in lila, noch einen 
bestimmten Werth gebe, also convergiré, 
wenn x imaginär wird. Dieser Beweis 
lässt sich so führen: 
Setzt man in lila, für x a + 
ergibt sich: 
a+bi „ <t + ¿i , 
e =1 + —j—+ 
(a+biy 
1-2 
so 
, O+fo) 8 | 
■ 1.2 • 3 ^ ' ‘ ' 
Haben n und b die absoluten Werthe 
a und ß, so dass a und ß positive 
Grössen sind, so ist offenbar sowohl der 
reelle als der imaginäre Theil von 
(a + fii) S , abgesehen vom Vorzeichen, 
kleiner als («+/S) s . Denn die einzelnen 
Glieder des erstem Ausdruckes, wie sie 
der Binomische Satz ergibt, unterschei 
den sich von den entsprechenden des 
letztem nur durch das Zeichen oder durch 
den Umstand, dass sie noch mit i mul- 
tiplicirt sind. Diese letzteren Glieder 
bleiben im reellen Theile ganz weg. 
Denkt man sie also positiv genommen 
zu demselben hinzugefügt, so wird der 
selbe vergrössert, und dasselbe geschieht, 
wenn man die negativen Glieder mit 
verändertem Zeichen nimmt. Im ima 
ginären Theil dagegen, wo die nicht mit 
i multiplicirten Glieder wegbleiben, wer 
den diese hinzugefügt und ebenfalls alle 
Glieder positiv genommen. Setzen wir 
also: 
(a+bi) S = p + qi, 
so ist: 
p<(a + ß) S und q < («+/?) S , 
also wenn man setzt: 
e a+bi -P+Qi,