Quantität. 
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Quantität. 
IV. e f< ‘izeos «+i sin ct, 
1 _ xs 
(e ) e 
ist, so ist unsere Formel für jeden reellen Werth von s bewiesen. 
Sei jetzt s imaginär, so verlieren alle diese Definitionen von (e x ) s ihre Be 
deutung. Es steht uns daher frei, diesen Ausdruck neu zu definiren durch die 
Gleichung: 
Die völlig bestimmte, in convergirender Reihe zu entwickelnde Grösse rechts be 
stätigt dann die Gleichung (e x ) s =e x auch für diesen Fall. 
Wir haben bisher nur solche Potenzen betrachtet, wo entweder der Exponent 
reell, oder der Exponent eine beliebige complexe Zahl, die Basis aber gleich der 
gegebenen Zahl e ist. Es bleibt jetzt noch übrig, den Uebergang auf eine belie 
bige Potenz a x zu machen, wo a und x complexe Zahlen sind. Ehe wir dies je 
doch thun, sind die Potenzen von e etwas genauer zu untersuchen. — Sei zu 
nächst in: 
x reell und positiv, so sind alle Glieder der Reihe rechts ebenfalls positiv, und neh 
men mit wachsendem x zu. e a wird also immer grösser werden, wenn x wächst: 
Also: 
„Für positives x wächst der Ausdruck e x gleichzeitig mit x, und zwar von 
Null bis unendlich.“ 
Sei jetzt x ——y negativ, so ist: 
1 
e y 1 +y + 
Da der Nenner positiv ist, wird auch e y positiv sein, für y~0 den Werth 1, 
für y = co den Werth Null haben, und je grösser der absolute Werth von y wird, 
desto kleiner wird e y werden, also: 
„Für negatives x fällt e x von 1 bis 0, bleibt somit immer positiv.“ 
Und allgemein: 
„Durchschreitet x alle Werthe von —oo bis -fco, so wird e x alle positiven 
Werthe von 0 bis co annehmen, jeden nur einmal, und immer im Wachsen 
bleiben, wenn x algebraisch genommen zunimmt.“ 
4) Einführung der trigonometrischen Functionen in die 
Analysis. 
Sei jetzt x = ni eine rein imaginäre Zahl, so hat man: 
1-2 1 • 2*3^ 1 *2-3*4 ^ 1 *2*3• 4-5 
Die Reihe rechts zerfällt in einen reellen und einen imaginären Theil. Den erste- 
ren bezeichnet man mit dem Ausdrucke Cosinus von « (cos«), den letztem mit 
dem Ausdrucke Sinus von a (sin «). Diese Bezeichnungen sind mit denen, welche 
in der Trigonometrie Vorkommen, identisch. Jedoch ist diese Identität in letzterer 
Wissenschaft zu beweisen, nicht hier, wo es uns auf die geometrische Bedeutung 
der definirten Functionen nicht ankommt. Es ist nun: