Quantität. 
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Quantität. 
« 2 
«* 
«* 
IV a. 
COS « = 1—^ 
+ 1-2-1T4 “ 
i-2-3-4*5-6 + • ‘ ’ 
IV b. 
« s 
« & 
sin« = ß- 
!• 2* 3 + !• 
•2-3-4-5 ’ ' ‘ 
Die Ausdrücke für cos« und sin« convergiren immer. Sie selbst genügen ver 
schiedenen Gleichungen. Zunächst wird sich der Werth von e (et nur von c Cil da 
durch unterscheiden, dass die mit i multiplicirten Glieder negativ sind. Es ist 
also: 
V. e a 1 =: cos «—-i fein «. 
Multiplicirt man diesen Ausdruck mit dem in IV., so kommt: 
e' 1 e ul — (cos« + isin«)(cos « — i sin«), 
oder: 
VI. 1 = cos « 2 + sin u 7 . 
Es ist ferner: 
e a * e Pi — e^ a ^ * = cos (« -J- ß) + i sin (« + ß), 
und gleichzeitig: 
e n 1 c^ l = ( cos ß-f-i sin «)(cos ß+isin ß) = cos « cos ß—sin « sinß -f ¿(sin «cos ß 
+ cos«sin/S), 
woraus sich die beiden Grundformeln der Trigonometrie ergeben : 
VII. cos («+£) = cos « cos ß — sin «sin ß, 
VII a. sin(« + /$):= sin«cos/S+cos « sin ß. 
Da man ferner der Definition gemäss auch setzen kann: 
e K *=:cos(—«)+ i sin (—«), 
so hat man wegen Formel V.: 
VTTT. cos (—«) = cos «, sin (—«) == — sin «. 
Die Formel VI. gibt uns zunächst das Resultat, dass von den Grössen cos« und 
sin «, so lange « reell bleibt, keine grösser als -f 1 werden kann, und keine un 
ter — 1 sinken wird. D. h.: 
„Cosinus und Sinus reeller Zahlen sind immer echte positive oder negative 
Brüche.“ 
Kennt man von beiden Functionen die eine, so ist die andere bis auf das 
Vorzeichen gegeben durch die Formel VI. 
Was nun die Aenderung dieser Functionen, wenn « seinen Werth ändert, an 
betrifft, so bemerken wir zitnächst, dass nach den Formeln IV a. und IV b.: 
cos (0) — 1, sin(0) = 0 
sich ergibt, und man für kleine Werthe von a — v setzen kann: 
cos (y) =: 1, sin (»') = »', 
indem man alle Potenzen, die höher als die erste sind, gegen 1, bezüglich y, ver 
nachlässigt. 
Bekannt ist ferner der Satz, dass jede Reihe: 
SzzzA l —Aj-f-Aj— A 4 -j-A 5 — . . ., 
deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind, und wo immer das nächste 
Glied kleiner ist als das vorhergehende, den Bedingungen genügt: 
A ,—A a + . . . n i S^Aj A 2 + . . . + i’ 
denn offenbar ist der ersten Reihe rechts noch zuzuzählen, um S zu erhalten: 
(^2w+ 1 — J ^2n-f-2^^2n+3 — ’’ ’’ 
wovon alle Glieder in den Klammern positiv sind, während von der zweiten Reihe 
rechts ahzuziehen ist die Reihe mit ebenfalls positiven Gliedern: