Form (Zahlenlehre). 
Quadrat. Form (Zahlenlehre). 59 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
•den, welche Zahlen durch 
Form mit negativer De 
mi wie oft dieselben durch 
stellt werden können, 
bereits in 8) angenommen, 
leichung 
+2b xy-\-cy 2 — in 
ive Primzahlen sein. Diese 
msitiv ungrade, und eine 
mhl in Bezug zur Deter- 
nuss die Darstellung, wie 
wurde, zu irgend einem 
D mod m gehören. Seien 
. diese Werthe von Yd. 
nn zu jedem n eine 
g durch eine r e da 
nn d zwar nur eine. 
in durch die gegebene 
Ibar sei, muss sie mit 
?) äquivalent sein. Es ist 
; reducirte Form mit der 
dent, wie wir oben gesehen 
ese reducirte Form vertritt 
n 2 -D, 
der / (m, n, ) und 
m 
mren. Die Zahlen m, n 
- haben keinen gemein- 
'actor, denn jeder Factor 
n muss ein solcher von 
ein, und es ist vorausge- 
und D keinen Factor ge- 
Da m ausserdem ungrade 
auch rn, 2ii und — 
m 
gemein. 
jetzt die Anzahl der Dar- 
3 für in möglich sind, ge- 
zcd—{((b+yc)u, 
: yl-\-(aa + yb)u, 
2 + Am 3 =1. 
als 1, so gibt es nur 2 
ieser Gleichung, nämlich 
.=0, t — -f-1; 
ist entweder: 
= +l, M = 9 
= 0, u— ~4~1. 
m Allgemeinen 2 Darstel- 
i den Werthen: 
F« und y t = +y 
Nur wenn A=1 ist, gibt 
gen. Im Allgemeinen also 
hat man doppelt so viel Darstellungen, 
als die Congrucnz: 
z 2 = D mod m 
Wurzeln hat; wenn aber A = 1 ist, so hat 
man 4 Mal so viel. 
Möge /j, die Anzahl der einfachen 
Factoren von m sein. Sind Z n l 2 . . , 
diese Factoren selbst, A t , h 2 . . , die 
Exponenten der Potenzen, in welchen sie 
bezüglich Vorkommen, so ist: 
; 
m — l x 
i 
v* ■ 
Wenn s 5 = i)modm, so ist nach dem 
Reciprocitätsgesetze für die quadratischen 
Reste (siehe den Artikel quadratischer 
Rest): 
Es stellt nämlich bekanntlich der Aus 
druck die Zahl +1 oder —1 vor, 
je nachdem D quadratischer Rest oder 
Nichtrest von l ist. 
Die Anzahl der Wurzeln dieser Con 
ti 
gruenz z* — I) mod rn ist 2 , also die 
der Darstellungen, von denen wir hier 
«-(-1 u -f-2 
sprechen, 2 , für A = 1 jedoch 2' 
Es sei A = l. Dann ist: 
n 1 — D 
/(»«, «, ) 
' in 
äquivalent mit 
f( 1, 0, 1); 
denn diese Werthe ergaben sich für die 
A = 1 entsprechende reducirte Form. 
(Abschnitt 13). Es ist dann also: 
Da aber 
— in. 
sein muss, ss müssen die einfachen Fac- 
toren von m alle von der Form 4/t+l 
sein (siehe den Artikel: quadratischer 
Rest), d. h. wenn man die Stellung und 
das Vorzeichen der Variablen nicht be 
rücksichtigt (wo also die Anzahl der 
Darstellungen auf den 8ten Theil redu- 
cirt wird), hat man den Sa f z: 
„Jedes Product von Primzahlen von 
der Form 4A+1, wo u die Anzahl die 
ser Factoren ist, lässt sich 2^ 1 mal 
durch die Summe zweier Quadrate aus- 
drücken.“ 
Z. B. 
65 = 5-13=8 i + l 1 = 4 2 + 7 2 , 
da hier /w=2 ist. Ist m eine Primzahl, 
so ist ^=1, und 1 die Anzahl der Dar 
stellungen. 
Wenn A=2, so war nach AbschnittlS) 
A = 0, o = l, c—2, 
also die Gestalt der Form ist 
x 2 +2y 2 . 
Die Gleichungen: 
setzen voraus, dass alle Factoren /, 
... eine der Formen 8A+1 oder 8A+3 
haben. Ist dies der Fall, so hat also 
u — 1 
die Zahl m wieder 2 Darstellungen, 
abgesehen vom Vorzeichen der Varia- 
w + l 
hlen, wodurch die 2 auf den 4ten 
Theil reducirt wird. 
Z. B. die Zahl 33=11x3 hat 2 Fac 
toren von der Form 8A+3, es ist also 
wieder m = 2, und die Zahl 2 mal durch 
die Form .-r 2 +2« 2 darstellbar. In der 
That ist 33 = 1 2 +2-4 2 =5 i +2-2 2 . 
19) Seien jetzt in eine beliebige positive 
ungrade Zahl, die zu A relativ einfach 
ist, l t , l 2 . . . ihre einfachen Factoren, 
und es werde vorausgesetzt, dass 
(w) = (tT) = ' ■' =1 - 
so gehört zu A, wie in 13) gezeigt 
wurde, immer eine endliche Anzahl re- 
ducirter Formen: 
nx 2 -{-2bxy-\-cij 2 , a i x i -\-2h¡xy-\-c,y 2 . .. 
Schreibt man nun jede der Zahlen in, 
welche diese Eigenschaft haben, so oft, 
u+1 
als die Zahl 2 Einheiten hat, so 
geschieht dasselbe, als wenn pian in 
allen diesen redueirten Formen für x 
und y alle Werthe setzt, die zu ein 
ander relativ einfach sind und eine der 
Zahlen m darstellen (dass x und y re 
lativ einfach sind, ist nämlich bei allen 
bisherigen Betrachtungen über Darstel 
lungen vorausgesetzt); denn immer eine 
dieser Formen ist ja dann mit in gleich 
bedeutend. Nach Abschnitt 17) und 18) 
aber ist in durch die Gesammtheit die- 
u + 1 
ser Formen so oft darstellbar als 2‘ 
Einheiten hat. 
Man kann danach sowohl den Ausdruck 
ni M + l u + 1 
2 m. als auch 22 F(m), wo F