Quantität. 
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Quantität. 
C) Anwendung der Theorie der Congruenzen auf die Expo- 
nential- und die trigonometrischen Grössen. 
Die Formel 3) des vorigen Abschnittes gibt, wenn man : 
a — cos x, ß = sin x, 
y = cosy, cf = sin y 
setzt, und darunter die aus der Trigonometrie bekannten Grössen versteht: 
(cos x+i sin#) (cosy4i siny)Ecos x cosy—sin# siny-|-i (sina: cosy 4 cosarsiny), 
d. h. : 
1) (cos x+i sina:) (cos y4isiny) = cos(a;42/)+i sin(#4y). 
Indem man so fortfährt, erhält man: 
(cos ar+isina;) (cosy + isiny)(cosz+isins) . . . Ecos(x + y4s4 . . .) 
-j-i sin (a'4l/4*4 . . .) 
Also wenn man x=y=z= . . . setzt, wenn n eine ganze positive Zahl ist: 
2) (cosa;+i sino:) M Ecos na;+isina;, 
d. h.: 
„Die nte Potenz des Binoms cos x -j- i sin x durch i J + l dividirt, gibt 
coswa;+i sinwa: als Rest.“ 
Dieser Satz tritt für den von Moivre in dieser Theorie ein. 
Sei jetzt wieder: 
/=lim(l + -i.)" 
oder: 
3 ) /=1 Wr2 + rfn) + •••■ 
also: 
4) 
ix H , x . 
= 1+— 
i a + 
1 ' ' 1-2 
und somit nach Satz 2) der Abtheilung B : 
ix 
1*2 *3 
i 3 4 • . 
5) 
- 1 l-2 + l-2-3-4' 
+‘(t 
1-2-3 
4 
Andererseits hat man: 
6) 
smx ~ l i-2-3 
4 
Diese Gleichungen kann man auch als Definition der Functionen Cosinus und 
Sinus benutzen, und so die der Trigonometrie entnommenen Betrachtungen ganz 
vermeiden. Man hat also: 
7) e iiV Ecos x+i sin x. 
Aus den Formeln 2) und 7) lassen sich alle Schlüsse ziehen, welche man aus 
den entsprechenden Gleichungen in der Theorie der imaginären Grössen zieht. 
Seien z. B. coswa: und sinwa; zu berechnen, so ist: 
n{n—1) n—2 
n n— 1 
[a+bi) -a 4na bi + - 
1-2 
also : 
8) 
/ . i ■\ n — n 
(«46*) = a 
n(n — 1) n — 2 
c 
b 1 i 1 4 
n—1 
b*+ ... 4i{na 
„(n— ,)(n— 2) «—3 
1.2-3 + * * 
und also wegen Formel 2):