Quantität. 
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Quantität. 
geschehen ist, wenn man dem Begriff der 
Gleichheit den der Congruenz suhstituirt, 
und i willkürlich sein lässt. 
Berechnet man das Product rechts in 
der Formel: 
f(») = (*-«,) (®-« a ) • • • ( x ~ x n )> 
wo man den ersten Coefficienten a 0 gleich 
1 setzt, so erhält man links und rechts 
Polynome mter Ordnung von x, und da 
x willkürlich ist, müssen die Coefficien 
ten der gleichen Potenzen von x unter 
sich congruent, also ihre Beste gleich 
werden. Es ist also: 
« 1 = a? 1 -|-x 2 -|- . . . +x n , 
a 2 = -(x l x i +x 1 x s + . . . +x n _ l x n 
wodurch der bekannte Satz über die 
Wurzeln der Gleichungen ersetzt wird. 
Hat die Congruenz: 
f(*) = 0 
eine Wurzel, die von i unabhängig ist, 
so ist: 
n»)=0, 
also: 
III. „ Alle Wurzeln der Congruenz 
f (x) = 0, die von i unabhängig sind, wer 
den Wurzeln der Gleichung: 
f(x) = 0 
sein.“ 
Da ferner der Ausdruck i 2 +l sich 
nicht ändert, wenn man i mit — i ver 
tauscht, so wird, falls auch die Coeffi 
cienten von f(x) i nicht enthalten, jeder 
Wurzel der Congruenz f(x)~ 0 von der 
Form a+ßi eine andere a—ßi ent 
sprechen, weil die letztere aus der erste- 
ren entsteht, wenn man i mit — i ver 
tauscht. Nennt man also zwei Ausdrücke 
von der Form a+ßi und a—ßi conju- 
girt, so gilt der Satz: 
IV. „Wenn die Coefficienten der Con 
gruenz von i unabhängig sind, so sind 
die von i abhängigen Wurzeln in grader 
Anzahl vorhanden, und je zwei einander 
conjugirt.“ 
Ist f(x) endlich eine transcendente 
Function, so gelten noch immer ähnliche 
Betrachtungen. 
Durch das hier Gesagte ist, wie ange 
zeigt, also der Begriff des Imaginären 
völlig eliminirt, alle Sätze aber, und 
selbst die Beweise derselben gelten noch, 
wenn man die Ausdrücke gleich und 
Gleichung mit congruent und Congruenz 
vertauscht, und als den Modul der Con- 
gruenzen (nicht zu verwechseln mit dem, 
was hier als Modul einer Function f(x) 
bezeichnet wurde) i 2 -fl annimmt. Denn 
wie bei der in den Abschnitten 1 bis 9 
gegebenen Theorie, werden die Aus 
drücke a+hi ganz nach den Begeln des 
Kechnens, deren man sich bei reellen 
Grössen bedient, behandelt. 
Der Satz, dass Congruenzen mit ein 
ander addirt, multiplicirt, von einander 
subtrahirt, wieder Congruenzen geben, 
gestattet, sie wie Gleichungen zu behan 
deln, und die Beste der zwei Seiten einer 
Congruenz, welche dann eine wirkliche 
Gleichung (oder zwei Gleichungen) bil 
den, werden gefunden, wenn man i 2 mit 
— 1 vertauscht. 
Man hat somit jetzt einen deutlichen 
Begriff von denjenigen Ausdrücken und 
Gleichungen, welche die imaginären er 
setzen. 
Unter f(a +ßi) versteht man immer 
den Best dieser Grösse nach i 2 -fl ge 
nommen , wenn f entweder eine ganze 
Function von a+ßi, oder eine nach gan 
zen Potenzen fortschreitende convergi- 
rende Eeihe ist. Sollte dagegen für 
reelles x, y~f(x) keine ganze Function 
sein, so kann sie doch immer durch Auf 
lösung einer Gleichung q (x, y) = 0 er 
langt werden, wo nur ganze Functionen 
oder Potenzreihen nach x Vorkommen. 
Es ist dann unter y = f(a+ßi) die Wur 
zel der Congruenz: 
q{u+ß l , y)~ 0 
zu verstehen, oder, was dasselbe ist, die 
der Gleichung: 
(/ (a+ßi, y) = 0, 
wenn man für die Function q ihren Best 
setzt. 
Hierin ist der Satz enthalten: 
„Identificirt man alle ganzen Functio 
nen von a+ßi mit ihren Besten nach 
i 2 +l, so hat man es nicht mehr mit 
Congruenzen, sondern mit Functionen 
und Gleichungen zu thun, die nach den 
in Abschnitt 1 bis 9 gegebenen Begeln 
behandelt werden.“ 
Z. B. Es sei zu bestimmen: 
n 
V-Ma+ßi. 
n 
Die Function ~[x ist gegeben durch die 
Gleichung: 
also in unserm Falle ist die Congruenz: