Quadrat. Form (Zahlenlehre). 62 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
wo man auch setzen kann: 
,J_ 1 1 
^ji 2 * ~ {a.v 12 +2tixy-{-cy' i y _ ^[a(tix) 2 -\-2b(nx)(ny) + c(ny) l ] s 
1 
~ 2 {ax ^+2bx ^cy S)* + 
wo x x , y x dann andere Werthe von x und y sind. 
Es stellen sich hierbei alle Werthe 
x lf y x e l n i die so beschaffen sind, dass 
ax l 2 +2bx x y! -\-cy t 2 zu 2D* relativ ein 
fach ist. Die Bedingung, dass x und y 
relativ einfach zu einander sein sollen, 
ist also jetzt aufgehoben. Denn es war 
sowohln, als auch ax+2bx l y t -\-cyzu 
2D relativ einfach, also ist dies auch mit 
der neuen Form der Fall. Es kommen 
Aus diesen Betrachtungen ergibt sich: 
aber auch in den Formen alle x und y, 
die zu einander relativ einfach sind, und 
alle «, die es zu D sind, vor. Sei näm 
lich n der grösste gemeinschaftliche Fac 
tor von x j undi/,, oderx, =7ix, y t =tiy, so 
kann n keinen Factor mit 2D gemein 
haben, weil ihn sonst die ganze Form 
haben müsste, x und y haben also kei 
nen gemeinschaftlichen Factor mehr. 
(®U =X 1 
\n / n s (ax 2 -\-2bxy-\-cy 2 ) s 
+ . . . . 
Die Summe rechts geht auf alle x und y. 
Diese Formel wird die Formen gehen, 
welche zu 21) relativ einfach sind. 
Ferner ist: 
2 ah£)i =2 h") 
„ s \n /„« \n J 
r~nn x 
also jedes r so oft vor, als es sich in 
2 Factoren zerleget! lässt. Dabei wird 
/D\ 
(—1 bald positiv, bald negativ. 
Ist also x der Ueberschuss der An 
zahl der Factoren n von r, für welche 
D quadratischer Best ist, über die, wo 
D Nichtrest ist, so erhält man 2l(j~) 
zu 2D relativ einfach ist. Es kommt und es ist: 
2 2k—= 2- 
(ax 2 + 2 bxy -j- cy 2 ) s 
■+*- 
(a l x 2 +2b l xy+c l y 2 )‘ 
Auf der Seite rechts kommt nun jedes r s so oft vor, als r durch die Formen: 
ax 2 ß-2bxy-\-cy 2 , a v x 2 +2b l xy-\-c i y 2 
darstellbar ist. 
Es lässt sich nun aber auch 
beweisen, dass die 
beiden 
Reihen 
links und 
rechts in den einzelnen Gliedern 
übereinstimmen, 
welche 
einem 
bestimmten 
Werthe von r s entsprechen. Seien 
die Keihen : 
/ABC 
A' B’ C 
> 
k 
( 8+**+ S+ * ’ 
. = — +—+— + 
fs af s . H ‘ 
) 
\n ß y 
a ß y 
j 
oder 
1 / i (t \ s / ft\ s 
\ 1 / /«' 
V / 1 
r»'V 
7(* + i V+ t V+ • ■ • 
)+ C (; 
?) + • 
•* ) 
Unter «, «' sind die kleinsten Werthe der Grössen a, ß, y . . . und bezüglich 
ß', y' verstanden. 
Nehme man nun an, es wären « und u' ungleich, so kann man immer «' 
kleiner als « annehmen, weil wir im entgegengesetzten Falle die Bezeichnung von 
a und «' vertauschen können. Es ist dann: 
^)‘+Ht)’+ c (7)' + ■ • ' =^ +£ '(7 : )' +c '(?)" + 
wenn man auf beiden Seiten mit a' s multiplicirt.