Quantität. 
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Quantität. 
Peripherie y~a e'1 . Auf dem erstem 
Wege geht man von </> = 0, welcher a 
entspricht, bis <p — n, welcher b entspricht, 
auf dem andern von c/ =0 bis <f = —n. 
Es ist also auf dem ersten Wege: 
1/6 = 1/ae n '\ 
und auf dem letztem: 
y6=]/«< 
d. h. bezüglich: 
yb — ^aer =zi\a, 
und; 
\bzz\ae 2 = —i ]/«. 
Man hat also in der That auf jedem 
Wege einen anderen Werth von fb er 
halten. 
Es fragt sich, iinter welchen Bedin 
gungen eine solche Abhängigkeit des 
Werthes einer Eunction vom zurückge 
legten Werthe eintreten kann. 
Es sind hier gewisse Punkte der Ebene 
ins Auge zu fassen, welche wir mehr 
fache Punkte (doppelte, dreifache, nfache 
u. s. w.) nennen. Es haben dieselben 
die Eigenschaft, dass für sie n Werthe 
der betrachteten Eunction gleich werden. 
Für den Ausdruck fz z. B. ist also der 
Anfangspunkt der Coordinaten, 2 = 0, ein 
Doppelpunkt, denn für ihn wird: 
+Yz= — y*. 
n 
eben so hat die Function \z in 2 = 0 
einen nfachen Punkt, da hier alle Wur 
zeln einander gleich und gleich Null wer 
den. Die Function y(z: 2 — a 2 ) hat zwei 
Doppelpunkte, welche x — +a und x=—a 
entsprechen. 
Wir untersuchen jetzt den Gang der 
Function f(z), welche für jeden Punkt 
etwa zwei Werthe f y (s) und f 2 (a) an 
Fig. 63. 
annchmen, die Wege wichen nur unend 
lich wenig von einander ah ; ferner sei 
auf dem ganzen Umfange aedb und in 
nerhalb des von ihm begrenzten Ebenen 
stückes die Function f(z) continuirlich, 
und es befinde sich daselbst kein mehr 
facher Punkt, so dass also für jeden 
Punkt auf diesem Umfang und innerhalb 
desselben die beiden Werthe f v (2) und 
f 3 (2) um eine endliche Grösse von ein 
ander verschieden sind. 
Fängt man nun in a mit dem Werthe 
u = f L (rt) an und verfolgt den Weg acb, 
so kann sich u nur continuirlich ändern, 
und in jedem Punkte des Weges, z. B. 
in c oder b, mit einem der beiden Werthe 
von /■(*) anlangen, den wir ebenfalls mit 
fi (6), f t (c) bezeichnen. — Verfolgt 
man mit demselben Anfangswerthe Weg 
adb, so wird sie, da auch hier und auf 
dem Uehergange von ach nach adb Con- 
tinuität herrscht, in keinem Punkte einen 
Werth annehmen können, der von dem 
eines benachbarten Punktes des Weges 
acb um eine endliche Grösse verschieden 
ist. Ist also d unendlich nahe dem Punkte 
c, so wird hier die Function nur den 
Werth f l (d), nicht f 2 (d) annehmen kön 
nen, da letzterer Werth um eine endliche 
Grösse von f v (d) und also auch von 
fi (c) abweicht. Gleiches gilt von je 
dem Punkte der Linie adb, es wird also 
auf diesem Wege in Punkt b die Func 
tion ebenfalls den Werth f L (6) erhalten. 
Nun aber kann man, wenn acb eine an 
dere beliebige Linie zwischen a und b 
ist, die auf gleicher Seite mit acb und 
adb liegt, auch den ganzen Raum, wel 
cher von acbea begrenzt ist, in unend 
lich kleine Räume theilen, durch Linien, 
die alle wie ae'b durch a und b gehen. 
Auf allen diesen Wegen, und schliess 
lich also auch auf Weg acb, wird die 
Function in b denselben Werth f l (6) 
erhalten, wenn man überall in a mit 
fi (a) beginnt, und in und auf dem gan 
zen Umfange adbea kein mehrfacher 
Punkt sich befindet, auch die Function 
nicht discontinuirlich wird. 
nehmen kann auf zwei Wegen, acb und 
adb, welche beide von a nach b führen 
(Fig. 63). Wir wollen dabei zunächst 
Aehnliches gilt für alle Wege, die 
zwischen aß und adb Hegen, wenn aß 
auf der andern Seite von adb und ach 
liegt. Also: 
„Damit auf zwei Wegen aeb und aß 
die Function zu demselben Werthe in 
b führt, wenn man mit demselben Werthe 
von a ausgegangen ist, reicht es hin, 
dass in dem ganzen von ebfa begrenz 
ten Raume und auf der Begrenzung 
selbst kein mehrfacher Punkt und die 
Function continuirlich sei.“