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Quantität. 
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Quantität. 
Wenn man in diesem Falle Weg afb 
rückwärts, also von b nach n zurück 
legt , so wird man von dem Functions- 
werthe f t (b) zu f l («) gelangen. Also: 
„Wenn man von a ausgeht und die 
ganze geschlossene Curve aehfa zurück 
legt, so muss, falls man mit einem an 
deren Werthe, («), als dem, mit wel 
chem man in a begonnen hat, /\ (a), nach 
a zurückgelangt, von dieser Curve ein 
mehrfacher oder ein Discontinuitätspunkt 
enthalten sein.“ 
Was zunächst die Discontinuitätspunkte 
erster Gattung anhetrifft, so kann man 
für dieselben statt der Function f{x) in 
der Nähe eines solchen Punktes . he- 
f ( x ) 
trachten, und da hier die Function con- 
tinuirlich ist, und jedem Werthe von/ 1 (x) 
ein solcher von .^ entspricht, so muss, 
/ \ x ) 
falls ein solcher Wechsel des Werthes 
eintreten soll, die letztere Function einen 
mehrfachen Punkt haben. Der Discon 
tinuitätspunkt ist in diesem Falle zu 
gleich mehrfacher Punkt. 
Die Betrachtung der Discontinuitäts 
punkte zweiter Gattung wollen wir hier 
nicht weiter verfolgen. Man kann also 
jetzt sagen, dass ein Werthwechsel nur 
beim Umkreisen eines mehrfachen Punk 
tes eintreten kann. Ein solcher Wechsel 
ist jedoch nicht nothwendig, sondern 
nur möglich. Die Function \x hat für 
« = 0 einen solchen. — Der Ausdruck 
a X ~e x ^ a ist ein mehrdeutiger, dalga 
unendlich viel Werthe hat. Alle diese 
Werthe werden gleich, wenn x eine ganze 
Zahl ist; es sind die entsprechenden 
Punkte also mehrfache. Aber setzt man 
für x den Werth n+re^ 1 , wo n eine 
ganze Zahl ist, so wird: 
x n r e'J 1 lg a 
a —a e ö , 
und wenn man für erst 0, dann 2/r 
setzt, erhält man beidemal denselben 
Werth, so dass hier beim Umkreisen 
keine Werthverschiedenheit eintritt. Glei 
ches ist offenbar auch bei: 
j/(l—sin x*) = + cos x 
der Pall. 
Man kann sonach immer von Räumen 
sprechen, in welchen eine gegebene 
Function eindeutig ist, nämlich in sol 
chen, worin sich kein mehrfacher Punkt 
befindet. In diesen Räumen sind alle 
Werthe von f{x) völlig von einander 
getrennt. 
„Hat eine Function eine endliche An 
zahl von Werthen, also n, so wird man, 
wenn man auf einer geschlossenen Curve 
einen mehrfachen Punkt eine gewisse An 
zahl von Malen umkreist, zuletzt immer 
auf denselben Werth von f{x) zurück 
kommen.“ 
Seien z. B. ß(x), f 2 {x) . . . f n {x) 
die Werthe von f(x), und mögen von 
denselben ß (x), f t (#), f 3 (x) für x = cc 
gleich werden, so kann man hei einma 
ligem Umkreisen von ß (a) zu f 3 («), 
hei zweimaligem von f 2 (a) zu f 3 (a) ge 
langen. Aber keiner der Werthe f A («) 
• • • f n ( a ) kann beim weiteren Umkrei 
sen des Punktes « sich einstellen, da 
diese Werthe in a einen endlichen Un 
terschied von f y («) , ß («), (a) ha 
ben. Es muss also f 3 («) hei aber 
maligem Zurücklegcn der geschlossenen 
Curve zu einem der Werthe f y («), 
f 2 («), fi(a) zuriiekführen. Es kann dies 
aber nur der anfängliche Werth f l («) 
sein; denn führte das Umkreisen des 
Punktes a mit dem Anfangswerthe f 3 («) 
zu f 2 («), so würde die umgekehrt ge 
richtete Umkreisung von f 2 («) zu f 3 («) 
führen. Nach der Annahme aber führt 
eine solche zu f l («), da die anfängliche 
von ft («) zu ß («) führt. Also: 
„Beim wmaligenUmkreisen eines nfachen 
Punktes kann die Function nur n ver 
schiedene Werthe annehmen, und muss 
dann auf den ersten wieder zurück 
kommen.“ 
Z. B. die Function: 
n 
U = Yz 
hat einen nfachen Punkt für z = 0. Be 
schreibt man um diesen einen Kreis, d. h. 
setzt man z~ref‘ l und lässt y von 0 
bis 2nx wachsen (siehe den vorigen Ab 
schnitt), so erhält man für: 
(f — 0, ff' = 2n, (fi = 4tn . . . (f (2n—2) Tr, 
(f — 2nn 
bezüglich; 
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u~r e , u~r , 
und in der That ist nach nfachem Um 
kreisen des Anfangspunktes der Coordi- 
naten die Function zu ihrem anfänglichen 
Werthe zurückgekehrt. Indess braucht 
nicht das Umkreisen jedes nfachen Punk 
tes wirklich alle n Werthe in einem Cy- 
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