Quantität. 
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Quantität. 
clus zu geben. Es kann z. B. sein, dass, 
wenn für x — k die Function f(x) einen 
vierfachen Punkt hat, ein zweimaliges 
Umkreisen, wenn man mit f v (x) beginnt, 
zuerst auf f.. (x) und dann wieder auf 
fi (x) zurückführt. Beginnt man dage 
gen mit f 3 (x), so kann man zu /" 4 (x) 
und dann zu f i (x) gelangen. Immer 
aber müssen im letztem Falle die ver 
schiedenen Cyclen auch von einander 
verschiedene Werthe ergeben. Möglicher 
weise kann ein Cyclus aus einem Werthe 
bestehen. 
„Das eben Gesagte gilt aber dann 
nicht mehr, wenn man auf zwei Wegen 
von a nach b, oder auf einem geschlosse 
nen Wege von a nach a geht, wenn in 
dieser Begrenzung mehr als ein mehr 
facher Punkt enthalten ist.“ 
Wie in diesem Falle zu verfahren ist, 
zeigen aber sehr leicht folgende Betrach 
tungen. Es mögen innerhalb akema 
Fig. 64. 
zwei mehrfache Punkte « und ß liegen. 
Wir umgeben « und ß einzeln mit den 
geschlossenen Curven aebha und bdegb, 
die sich in b berühren. Es wird dann 
Weg aebde dasselbe Resultat als Weg 
ake, und ahbge dasselbe als ame geben, 
denn in den von je zweien dieser Wege 
gebildeten geschlossenen Curven sind 
mehrfache Punkte nicht enthalten. Man 
kann also diese Betrachtung auf die der 
jenigen Curven, welche die mehrfachen 
Punkte einzeln umgeben, zurückführen. 
Jedoch ist nicht nöthig, dass sich diese 
Curven berühren. Es sei z, B,: 
nx) = Y(x~a)(x-ß)-, 
x — ct und x~ß sind hier in der That 
Doppelpunkte. Umgebe man (Fig. 65) 
« und ß mit kleinen Kreisen, die inner 
halb akem liegen; g, h sind beliebige 
Punkte der Peripherie des einen, s, i 
des andern Kreises, gdh, gvh, sui, swi 
sind Halbkreise, Wir verbinden durch 
beliebige, z. B. grade Linien die Punkte 
a, g — h, s — i, e. Es führt dann 
Weg ake zu demselben Werthe als 
agdhsuie, und ame zu demselben als 
Fig. 65. 
agvhswie. Möge man in a mit einem 
der beiden Wurzelwerthc f t (x) beginnen. 
Ist in g: 
X — n -j- r e't *, 
wo r der Radius des Kreises um « ist, 
so ist in h: 
x = 
wenn man auf Weg gdh geht, dagegen: 
x — u-\-r 
wenn man Weg gvh zurückgelegt hat. 
Es ist dann also bezüglich: 
- 
fÄ9) = r^ , 
7 tt . 
— — i 
also da: 
Tl . 71 . 
— i i 
‘i . 2 
6 6 — % 
ist: 
A (sO=-A(5)- 
Ebenso führen die Wege sui und swi 
zu verschiedenen Werthen von f(i). 
Man hat also auf Strecke agdhsuie im 
mer den Werth f l (x), dagegen auf 
Strecke agvhswie in h den Werth f 2 (x), 
in s denselben, in i dann —f t (x)=f t (x), 
denn da Weg swi von f v (s) zu (w) 
führt, muss dieser Weg auch von f 2 {s) 
nach f v (w) führen, man langt also in c 
ebenfalls mit f L (x) an. D. h.: Zwei 
Wege, welche die Doppelpunkte x — a 
und x = ß umfassen, ake und ame füh 
ren in e zu demselben Werthe von 
f(x) = y{x—ci)(x—ß). Also wenn man 
von a aus eine in sich zurückkehrende 
Curve durchschreitet, welche beide Punkte 
umfasst, so kehrt man zu demselben 
Werthe zurück, von welchem man aus 
gegangen ist. 
Aus dem Umkreisen von Räumen, 
welche je einen mehrfachen Punkt ent