Quantität. 
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Quantität. 
halten, kann man sich also die Mehr 
deutigkeit der Function gewissermaassen 
entstehend denken. Da es Functionen 
gibt, die unendlich vieldeutig sind, wie 
z. B. lg(»), so brauchen diese heim Um 
kreisen eines mehrfachen Punktes nie 
wieder auf den alten Werth zurückfüh 
ren. In der That findet für die Func 
tion lg (x) im Anfangspunkt der Coordi- 
naten ein unendlichfacher Punkt statt. 
Es ist nämlich zwar lgO = oo, aber: 
J_ - 1 
lg# lx-\-2sni’ 
wo l{x) ein beliebiger Werth des Loga 
rithmus ist, und alle diese Werthc wer 
den unter einander und der Null gleich 
für # = 0. 
Ziehen wir einen Kreis um den An 
fangspunkt der Coordinaten mit Radius 
r, und beginnen in Punkt « dieses Krei 
ses mit dem Werthe a-re^ *, und mit: 
lg« = I gr+yi, 
wo unter lg r der reelle Logarithmus die 
ser Grösse zu verstehen ist. Nach s ma 
ligem Umkreisen hat man dann : 
\ga = lgre K ' ' , 
also : 
lg« = r+ *(«/■ +2s n), 
d. h. bei jeder Umkreisung vei mehrt 
sich lg(#) um 2ni und so ins Unendliche 
fort; bei der Umkreisung in einer der 
anfänglichen entgegengesetzten Richtung 
würde Verminderung um 2ni eintreten. 
Wir können hier eine Veranschau 
lichung nicht übergehen, mit welcher 
Riemann dieMehrdeutigkeit derFunctionen 
und die hier gegebenen Verhältnisse des 
Uebergangs ihrer verschiedenen Werthe 
in einander auch räumlich dargestellt hat. 
(Vergleiche: Grundlagen für eine allge 
meine Theorie der Functionen von 
G. Riemann.) 
Man denke sich statt einer Ebene meh 
rere über einander gelegte Blätter, und 
zwar soviel als die Function Werthe hat. 
Jedem Werthe der Variablen z-=x-\-yi 
wird dann auf jedem dieser Blätter ein 
Punkt und diesem ein Werth der Func 
tion f{x) entsprechen. Alle diejenigen 
Werthe von /'(#), welche, einzelne Punkte 
ausgenommen, continuirlich aus einander 
entstehen, denkt man sich als zu dem 
ersten Blatte gehörig, die anderen f 2 (#) 
zu dem zweiten u. s. w. Somit hat 
jeder Werth von f(x) seinen ganz be 
stimmten Platz, und es ist somit die 
Mehrdeutigkeit im Allgemeinen gewisser- 
massen aufgehoben. Nur in den Funk 
ten, wo etwa n Werthe von f(x) gleich 
werden, denke man sich die Blätter zu 
sammenhängend. Dieser Zusammenhang 
kann aber ein verschiedener sein. Geht 
nach einmaligem Umkreisen des mehr 
fachen Punktes f t (x) wieder in f, (#), 
f x {x) in f 2 (x) u. s. w. über, wie dies 
bei a x für ® = 1, 2 . . . der Fall war, 
so muss man sich die Blätter noch im 
mer über einander liegend und ohne wei 
teren Zusammenhang als in dem frag 
lichen Punkte vorstellen. Geht aber 
z. B. f L (x) in f 2 (#), f 2 (x) in f 3 (x) 
und f s (x) in f\ (x) über, so denke man 
sich in diesem Punkte die Blätter nach 
Art einer Schraube über einander ge 
wunden, so dass eine Umkreisung, d. h. 
die Zurücklegung einer Schraubenwin 
dung vom ersten Blatt ins zweite, der 
zweiten Windung vom zweiten ins dritte 
führt; um vom dritten wieder ins erste 
zu gelangen, muss man sich dann die 
Windung allerdings durch die einzelnen 
Blätter zurück in sich selbst zurücklau 
fend denken, wie dies hier (Fig. 66) un- 
Fig. 66. 
gef ähr in der von a nach a zurückfüh 
renden Schraube angedeutet ist. Ein 
solcher mehi-facher Punkt heisst dann 
Windungs- oder Verzweigungspunkt, und 
kann ein doppelter, dreifacher u. s. w. 
sein. Führt also z. B. beim Umkreisen 
des Punktes a die erste Windung von 
fi 0*0 zu f 2 (x), von /,(») zu f 3 (#), 
von f 3 (x) zu f v (x) und gleichzeitig von 
fi 0*0 zu f % (x) und von f s (#) zu f x (#), 
so ist « ein fünffacher Punkt, zugleich 
aber ein dreifacher und ein zweifacher 
Windungspunkt, nämlich für f L , f 2l f 3 
ein dreifacher, und Jür f t und f s ein 
doppelter. Windungspunkte können offen 
bar auch Discontinuitäts - Punkte zwei 
ter Gattung sein. Nur wenn eine Func 
tion unendlich viel Werthe hat, und zu 
gleich jede Umkreisung einen neuen 
Werth gibt, wie dies z. B. bei lg (x) in 
Punkt x = 0 stattfindet, ist eine Schraube 
mit unendlich vielen Windungen zu den-