nhenfolge, in welcher 
: (+M), (—M) gibt 
ie Richtung der Um- 
ier negativ) an. Die 
) s soll anzeigen, dass 
. hintereinander um- 
ihenfolge wird durch 
Ausdrücke, die wir 
3geben. 
M 2 )(+M){-M 3 y 
tt M zweimal in po 
lt^ in negativer, M 
schliesslich M 3 zwei- 
shtung umkreist wird, 
nennen wir Charak- 
ich zurückkehrenden 
inen beliebigen Werth 
q nach h führt, gKh, 
dermaassen (Fig. 72) 
geht von g nach dem 
f einer Graden, wenn 
igspunkt enthält, oder 
i, keinen Windungs 
oder umgebenden 
e in sich zurückkeh- 
rarück, die durch ihre 
nmt wird, und macht 
ader Richtung, wenn 
t auf ah liegt). Die 
3 dem Vorigen. 
An g nach h ist gleich 
ige von g nach dem 
iner Anzahl Elemen- 
nfachen Wege von a 
och der Fall zu he 
be Curve gKh einen 
enthält. Da dieser 
;ung einer jeden Um- 
scin kann, so kön 
nen wir den Weg durch eine jede solche 
Umkreisung führen. Der Weg hat also 
n verschiedene Werthe, wenn M ein Win 
dungspunkt wter Ordnung ist. 
Betrachten wir jetzt noch eine Curve, 
welche alle Windungspunkte (den Un 
endlichkeitspunkt, wenn er ein solcher 
ist, natürlich ausgeschlossen) umgibt, so 
wird diese Curve zugleich, vom Unend 
lichkeitspunkt gesehen, eine solche sein, 
die den letzteren allein umgibt, also wenn 
dieser kein Windungspunkt ist, eine ge 
schlossene. Daraus würde, wenn man 
sich mit dieser Betrachtung begnügen 
wollte, schon folgen: 
„Eine Curve, die alle Windungspunkte 
umgibt, führt zu demselben Werthe zu 
rück oder nicht, je nachdem der Unend 
lichkeitspunkt ein Windungspunkt ist 
oder nicht.“ 
Indess ist diese lediglich als Veran 
schaulichung dienende Betrachtung ana 
lytisch zu rechtfertigen. Zu dem Ende 
denkt man durch den dem Anfangspunkt 
0 entferntesten Punkt der Curve einen 
Kreis mit Mittelpunkt O geschlagen, 
dessen Radius r sei, so gilt dieser der 
gegebenen Cnrve gleich nach dem Obi 
gen, und cs ist z ~ r S l , f(z) = f(r e't 1 ), 
wo r constant ist, Variable und Func 
tion für irgend einen Punkt dieses Krei 
ses. Ist nun: 
so hat man: 
/■(*) = </ (2/) = ? 
y — 0 entspricht dem Unendlichkeitspunkte, 
y = ge y l einer Kreisperipherie, welche 
keinen andern Windungspunkt als y — 0 
umschliesst (p ist nämlich constant); also 
ist auch dieser kein solcher, so findet 
keinerlei Wechsel der Function beim 
Umkreisen statt. Uebrigens ist wegen 
ff (re l ), da r/. von 0 bis 2rr, also — <j> 
von 0 bis —2n zu nehmen ist, die Win 
dung um den letztem Kreis die entge 
gengesetzte des erstem, der alle Win- 
dungspunktc umgibt. 
5) Differenziale und Differen 
zial quo tie nt en der Functionen 
complexer Variablen. 
Ist f(x) eine beliebige Function von 
x, so nennt man Differenzial von f(x) 
den Ausdruck: 
\\mf(x-\-v)—f(x), 
wo v eine im Uebrigen beliebige Grosse 
ist, welche ins Unendliche abnimmt. 
Wir sagen nämlich, dass eine complexe 
Zahl abnehme, wenn dies mit ihrem 
Modul der Fall ist. Der Ausdruck; 
lim f(x-\- r)—f(x) 
v 
heisst Differenzialquoticnt von f(x). Man 
schreibt gewöhnlich: 
dx — v, df(x) = lim[f(x+dx)—f(x)], 
also auch: 
_ i;m |7 (x+dx) - f (x)~\ 
1 
Auch setzt man: 
Hat man eine Function von mehreren 
Variablen x, y, z, so kann man das 
Differenzial nach jeder derselben neh 
men, und man hat folgende Bezeich 
nungen : 
44* 
intitat. 
Quantität. 
691 
Fig. 72. 
Quantität.