Quantität. 
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Quantität. 
d x f( x , y, 2) = lim [f (x+dx, y, y, *)], 
d yf& y> z ) = lim [fix, y+dy, »)—/*(*, y, »)]. 
° z /0, y, *)= Hm |/(«, 2/, s + £?s)-/■(», y, »)], 
df(x, y, 2)1 
Vf{x+dx, y, z)—f(x, y, 2)1 
L dx J 
[70, y + dy, y, 2)1 
dy “ hm | 
L dy J 
d f( № > V' 
70, 2/> z + dz)—f{x, y, 2)1 
d2 “ llm l 
L dz J 
Man nennt diese Ausdrücke bezüglich partielle Differenziale und partielle Diffe 
renzialquotienten, genommen nach x, y, z. Man kann sich übrigens x, y, z von 
einander abhängig oder unabhängig denken. Das bei den partiellen Differenzia 
len und Differenzialquotienten gebrauchte d ist von demjenigen d zu unterschei 
den, welches andeutet, dass man das Differenzial nach der einzigen in der Func 
tion enthaltenen Veränderlichen genommen habe. Zuweilen sind zwischen ver 
schiedenen partiellen Differenzialen und Differenzialquotienten einer Function noch 
andere Unterschiede zu machen, z. B. wenn man andere Variablen durch Trans 
formation einsetzt, und man kann dann auch die Ausdrücke: 
( d n*)\ 
\ dx )' dx 
u. s. w. gebrauchen. 
Das Differenzial oder den Differenzialquotienten einer Function bilden, nennt 
man: „dieselben differenziiren“. Mit dem Ausdrucke Differenzial ist das Wort 
Zuwachs, mit dem Ausdrucke Differenzialquotient sind die Wörter Ableitung, Diffe- 
renzialcoefficient und Derivation (derivirte Function) gleichbedeutend. 
Bei einer Function mehrerer Variablen kann man auch das Differenzial nach 
allen Variablen gleichzeitig uehmen. Der Ausdruck: 
70, y, z) = lim [f (x+ dx, y-\-dy, z+dz)-f(x, y, 2)] 
heisst dann totales Differenzial. Man gebraucht für dieselben das erst angewandte 
d im Gegensatz zu dem bei den partiellen Differenzialen gebräuchlichen d. 
Man kann auch von einem totalen Differenzialquotienten der Function 
f{x, y, 2) sprechen. Nehme man nämlich an, y und 2 seien irgend welche Func 
tionen einer andern Grösse u, so kann man setzen: 
f{x, y, *) = /['/ («)> * l P 0), *(»)]. 
und wird dann haben: 
df(x, y, z) r f[f f (u+du), rf,(u + du), / {u + dii)] -/[> (m), >/i Q), /(m)] 1 
du ~ im L du 
Von den Differenzialquotienten gelten zunächst folgende Fundamentalsätze: 
I. „Gibt man der Variablen x eine Reihe continuirlich auf einander folgen 
der Werthe, welche also den auf einander folgenden Punkten irgend einer be 
grenzten Linie entsprechen, so kann 
dfix) 
dx 
nur für einzelne Punkte dieser Linie 
disscontinuirlich werden, nie für eine ganze Strecke, so klein diese auch sei, voraus 
gesetzt, dass nicht die Function f(x) selbst auf dieser ganzen Strecke disconti- 
nuirlich sei.“ 
Beweis. Wir nehmen zunächst an, x sei reell für alle Punkte der zu un 
tersuchenden Strecke, d. h. die letztere falle in die Abscissenaxe. Wir unter 
suchen dann die Function f (x) für eine Reihe von Werthen: 
x ~ a, x = c<-\-y, £ = «+2u, x = a+3u . . . x — ß, 
welche auf einander continuirlich folgen, derart, dass v reell und unendlich klein 
ist, und wo die Abstände v eines jeden Punktes vom zunächst vorhergehenden 
einander gleich sind. — Es entsprechen dann den Werthen von x die Werthe des 
Differenzialquotienten: