Quantität, 
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Quantität. 
auf den wir sogleich zurückkommen 
werden. 
Setzt man in Formel IX. noch v — x, 
so wird : 
du 
dx Sl * 
also: 
IX a. 
dx 
Ferner setzt man: 
d(x n ) n— 1 
~nx 
1 l ttx 
»=n—, 
so ist: 
dv _ « 
dx ~ n' 
und folglich: 
d( !+"> 
\ n. 
dx 
( , ax\n~ I 
1+ v/ ■ 
Mit wachsendem n wird: 
t (t i ax\n ax 
H 1+ v) = e ’ 
was auch a sei, und: 
lim 
(>+“) 
= lim- 
1+^ 
n / ax 
= c , 
also: 
X. 
und: 
Xa. 
-^- =Ke ’ 
I 
a e 
also: 
so ist: 
e =y, 
x = lgy, 
dy 
T X =V' 
und nach Satz II: 
dx _ 1 
d y~ y' 
d. h.: 
d\gy _ 
d y ~~ y' 
Obgleich also lgy unendlich viel Werthe 
hat, ist doch der Differenzialquotient die 
ser Function eindeutig. Es folgt dies 
aber auch schon daraus, dass sich die 
verschiedenen Werthe von lgy nur um 
Constanten unterscheiden. — Sei nun n 
eine beliebige reelle oder imaginäre 
Grösse, so ist: 
n\gv 
also wenn man: 
n lg V = 2 
setzt: 
dv 1 de z dz _ z dig v dv 
dx dx dx dv dx 
e z du 
l ~ T- 
v dx 
Da aber: 
d (v) n —idv 
~10r~ nV dx 
somit ist Formel IX. auch für complexe 
Exponenten bewiesen. 
Sei jetzt der Exponent veränderlich, 
so ist wieder: 
Der Differenzialquotient von e x ist also 
gleich dieser Grösse selbst. 
Sei ferner: 
also: 
oder da: 
und: 
ist: 
XII. 
x x lg a 
a —e ° , 
d(ci ) _ de dz 
dx ~ dz dx' 
z — xlga, 
d(x lg d)_ 
dx 
- -lg« 
d(a X )_ 
dx 
-alga. 
XI 
Bei den Formeln IX a., X., XI. und 
XII. ist folgende Bemerkung zu machen. 
Dieselben gelten, wenn man die ent 
sprechenden Functionen derart differen- 
ziirt, dass der unendlich kleine Zuwachs 
von x aus auf irgend einer durch x ge 
henden Linie, also in ganz beliebiger 
Eichtung genommen wird. Da nun die 
Ausdrücke des Differenzialquotienten von 
dem Zuwachs unabhängig sind, so sind 
die entsprechenden Functionen: