Quantität. 702 Quantität. 
und: 
hc~ ^ (dx — dx) 2 + (dy — dy) 1 . 
Diesen drei Punkten entsprechen nun 
auf der zweiten Ebene ebenfalls drei, 
Ä, B, C, deren Coordinaten wir bezeich 
nen bezüglich mit: 
u, v, 
u-\-du, v + dv, 
u+du, u + JV, 
BC — ^ (du— du) 2 + (dv—dv)*, 
Da aber u und v Functionen von x und 
y sind, so hat man: 
7 du du 
du = ^— dxA- — dy, 
dx dy 
dx4- — dy, 
ry 
oder wegen Gleichung 1): 
und man hat: 
AB — y(f/w 2 
AC-Y(ihi 2 + dv 2 ), 
dv = 
woraus sich dann ergibt: 
du du 
-r- dxd- t- "Vi 
dy dx J 
=/(£)’+(£)**v=m^ 
d. h.: 
Ganz ebenso folgt: 
d. h.: 
AB : BC : AV— ab : bc : ac, 
oder: 
„Wenn drei unendlich nahe Punkte auf 
der ersten Ebene in einem Dreiecke lie 
gen, so liegen die entsprechenden Punkte 
auf der zweiten Ebene in einem Dreiecke, 
welches dem ersten ähnlich ist, falls die 
Entfernungen unendlich klein sind.“ 
Da man nun jede Figur in Dreiecke 
theilen kann, so entspricht überhaupt 
jeder von beliebigen Punkten z gebilde 
ten , unendlich kleinen Figur der ersten 
Ebene eine von den entsprechenden Punk 
ten f(z) gebildeten ähnliche Figur auf 
der zweiten. 
Wenn irgend einer Figur auf einer 
Fläche eine andere auf einer zweiten so 
entspricht, dass die unendlich kleinen 
Theile beider entsprechend ähnlich sind, 
so jedoch, dass die Yerhältnisszahl nicht 
für die ganzen Figuren dieselbe bleibt, 
so nennt man die Figuren Abbildungen 
von einander. Eine monogene Function 
f{z) hat also die Eigenschaft, dass ihre 
Darstellung eine solche Abbildung der 
Variable z ist. Denke man sich z. B, 
eine Schaar von graden Linien gezogen 
in der ersten Ebene, welche der Axe 
der x, und eine zweite, welche der Axe 
der y parallel ist, so werden daraus un 
endlich viel kleine Rechtecke entstehen. 
Jedem derselben entspricht aul der zwei 
ten Ebene ebenfalls ein Rechteck. Je 
der der graden Linien aber wird im All 
gemeinen eine Curve auf der zweiten 
Ebene entsprechen. Man hat also als 
Abbildung der zwei Schaaren sich recht 
winklig schneidender graden Linien zwei 
Schaaren sich rechtwinklig schneidender 
Curven. Die Gestalt der ersten beiden 
Schaaren bedarf natürlich keiner weitern 
Veranschaulichung. Zeichnet man daher 
für alle Werthe von z die Schaaren von 
Curven, welche f(z) vorstellen, so hat 
man eine bildliche Darstellung des Gan 
ges der Function, und wenn man zu ir 
gend einem Punkte Abscissen und Or- 
dinaten zeichnet, so geben deren Län 
gen den reellen Theil u und den mit i 
multiplicirten Theil ® des entsprechen 
den Punktes von f(z) an. 
Es lässt sich aber auch zeigen, dass 
für jede Abbildung einer Ebene auf eine 
andere die Gleichungen: 
du _ j du dv — du 
dy — dx' dy ^ dx 
stattfinden, wo die obern und untern 
Zeichen einander entsprechen. Im Falle 
der obern Zeichen erhält man dieselben 
Gleichungen wie im Falle der untern, 
wenn man u und ®, also die Axen ver 
tauscht. Es ist also eine Function von 
z vollständig definirt, indem man sagt, 
sie sei die Abbildung der Variablen z 
auf einer Ebene. 
Wir beweisen daher noch den obigen 
Satz. 
Eine beliebige, unendlich kleine Länge 
zwischen den Punkten x, y und x -f- h, 
y k ist gegeben durch den Ausdruck: 
Y(dx*+dy*) = Y(h'+k*). 
Die Länge einer Linie, deren Endpunkte