Quadrat. Form (Zahlenlehre), 64 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
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In 2(—1) 9 ist für n jede ungrade Zahl zu setzen, d. h, die Summe 
wird: 
2(q n ' -q^' +q 5tl ' + . . .) = JS- 
2 n' 
Summirt man diese Reihe aber nach so kommt; 
w+1 11—1 
Jf(-l) 
2X-1) 
2 n 
und der Vergleich aller 3 Summen gibt folgende Formel: 
3 5 3 
1+9 2 1 + 9 6 1 + 9 10 
+ 
:+- 
1 2 1 6 1 1 10 
i — q 1 — q 1 — q 
+ 
Q2 f^ 2 9a Ä 2 
: (? + ? +9 D + • • • ) (1+2q* +2 9 4 + . . . ). 
Es ist aber auch 
d. h. wenn man 
setzt, wo: 
+y 2 ~ A^+yY+^-yY 
x+y—t, x—y—w 
t + M 
-> y- 
t—u 
wird, und für t und u alle ungraden Zahlen nimmt, so erhält man alle möglichen 
Werthe von k und y. Wie leicht zu sehen, ist nämlich 
26+1+26 + 1 , . , . , 26 + 1 —(26+1 , , 
® = g — = 6 + 6+1, y- = h-k, 
wo h und k beliebige Zahlen sind. Da aber 6 + 6 und 6—6 gleichzeitig grade 
oder ungrade sind, so wird x immer grade, wenn y ungrade ist, und umgekehrt; 
man erhält also auf diese Weise für x 2 -\-y 2 in der That immer das Quadrat 
einer ungraden Zahl zu dem einer graden addirt, wie dies bei diesen Betrachtungen 
stattfinden muss, also: 
%*)«■} 
ist der Ausdruck für unsere Summe, dieser aber offenbar gleichbedeutend mit 
(?M?*) 3# +(i*) 52 + 
l 
also wenn man noch 9- mit 9 vertauscht, und diesen eben gefundenen Ausdruck 
einem früher gefundenen gleichsetzt: 
10 
i+- 
- + - 
1 + 9 4 ^1 + ? 12 1 + f 20 
+ 
Q2 K2 72 9 
{q+q à +r +q l +• • )• 
Es sind nämlich rechts eigentlich alle positiven und negativen Zahlen zu nehmen, 
wodurch ein Factor 4 erscheint, der sich gegen denselben Factor im ersten Gliede 
der Gleichung weghebt. 
Setzt man noch D=— 2, so wird die Form x 2 -\-2y 2 , und es ergibt sich aus 
ähnlichen Betrachtungen wie oben: 
+ JL 
2+ 
I-9 6 !_ r /0 -^14 
2-2 
-(-••• =(?+? d + q + • • • ) 
. . . (l+2q a +2q* r *' + 2q 3 ’ ^ + . . .)• 
Quadrat. F 
Auf einen TI 
Reihen ist Jako 
Betrachtungen, 
elliptischen Fun 
men. Ihre zahl 
die hier gegcbi 
Dirichlet her. 
ben berühmten 
gen, Sätze, wc 
geben zugleich 
über quadratiscl 
convergirt bekar 
immer für reell 
vorausgesetzt, 
Zahlen sind. Ei 
die Summe dies 
ermitteln, dass 
nimmt. Bekam 
f{x+h) 
(6 
Addirt man all 
sich bis in’s Un 
werden sich all 
das letzte (¿+n 
aber, da n = cc 
Null sich näher: 
0—6 ? — ai) 
Ti 
oder 
1 n~ 0 
# Hegt immer j 
man also » = 0, 
der Gleichung ve 
n = co 
2 — 
n = 0 (64 
22) In der 
die wir in Abs 
ben, wollen wir 
von 11 zusamme: 
sionsrest von JL 
2 L