Quantität.
Quantität.
ist. Jedoch kann ein solcher Punkt auch mit einer Discontinuität verbunden sein.
Wir wollen dies an zwei Beispielen zeigen.
Die Function:
s
y = x*
hat für x — Q einen Doppelpunkt, und es ist:
x i
dx ~ ’
ein Ausdruck, der ebenfalls für x — 0 einen Doppelpunkt hat. — Sei jetzt y
bestimmt durch die Gleichung:
y' 1 -2 fix) • y -f 0/ (x)] 2 = 0,
wo fix) und (f (x) eindeutige Functionen von x sein sollen. Es ist dann:
y = f(x)±V[f{x)r-['f{xW.
Beide Werthe haben immer einen endlichen Unterschied von einander, ausser in
den Punkten, wo:
f{x) = ±(f{x),
also:
V i
ist. Diese Punkte sind also Doppelpunkte. Differenziiren wir jetzt unsere Glei
chung nach x, so kommt:
dy
dy
y£-yf'i x )-f (*) C®)7'O) = 0,
d V _ yf’{ x )-<l (*)</•'i x )
dx
y~f(. x )
In den Doppelpunkten aber, wo y=f(x) war, wird ~ unendlich gross, es tritt
also in der That Discontinuität ein.
Es ist sonach gerechtfertigt, einen Differenzialquotienten wieder zu differen
ziiren, und wir bezeichnen dies durch folgende Ausdrücke:
' dx* - dx ’
und dieser Ausdruck heisst zweiter Differenzialquotient von f(x) nach x genommen,
ferner:
f n f( .^gx)_dr (x)
' U dx* ~ dx
d n f(x) _ df n ~\x)
Durch diese Formeln sind die hohem Differenzialquotienten einer Function von
einer Variablen völlig definirt.
In gleicher Weise lassen sich aber auch die Functionen von mehreren Varia
blen behandeln. Sei gegeben f(x, y, z), so hat man:
v?l— l j.
t
*21-
dx 2
dp
dx*
dx
dx 1 '
Man kann aber auch erst nach einer Veränderlichen und dann nach der andern
differenziiren. Wird z. B. erst nach x und dann nach y differenziirt, und dann
umgekehrt, so hat man:
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uotienten algebraische
Die von arctgx und
mt eines Logarithmus.
mzialquotienten f f (x)
ilbe bis auf einzelne
die Function mono-
haben als f{x), wie
olgt. Offenbar sind,
•ere Werthe hat, nur
er zu verbinden, da
Ausgenommen sind
n solchen kann man
-fi 0*0
ient im Allgemeinen
1
“1+x 2 '
z ~^—arctgx
3h:
x _ 1
~~~l+x*'
lA-A
d —
X
dx ?
1
x\{x* —1)‘
antität.
