Quantität. 
707 
Quantität. 
auf Differenzialquotienten von beliebiger Ordnung und nach beliebigen Variablen 
erweisen lässt. — Sei nun: 
z — x-\-yi, 
und: 
f(i) = u+vi, 
ferner: 
f' {z)~u f -\-v' i. 
In Abschnitt 6) zeigten wir, dass man hat: 
also: 
und 
, . ,. du . d v 
M -f- v't — - \-l —, 
(IX dx 
woraus sich dann ergibt: 
, , ,. . o« . dv 
m -f-ir » = —* t—f- —, 
d y % 
d*v 
, du dv dv du 
dx ~^~dy' 1 dx dy' 
Durch Differenziiren folgt: 
du' d 2 u dv' d 2 u du' d 2 v dv' 
dy ~ dx dy’ dx ~ dx dy’ dx dx dy ’ dy dx dy’ 
also: 
du' dv' du' _ dv' 
dy dx ’ dx dy ’ 
welches die in Abschnitt 6) entwickelten Gleichungen der Monogenität sind. 
Indess folgt dieser Satz auch schon aus der Betrachtung, dass: 
also die Grenze einer Differenz ist, wo der Zuwachs v als constant betrachtet 
werden kann. — Dieser Satz ist nicht mehr richtig, wenn die Function discon- 
tinuirlich ist. 
Man spricht auch von hohem Differenzialen, und definirt sie durch die Glei 
chungen : 
d ‘ f=d iJi dx '' d ‘ r =^r‘ dx ' ■ ■ ■’ 
d 2 f=^dx 2 , 
x 1 dx 2 ’ 
d d f= ~ [ dx du . 
x y dx dy J 
d P+9 
dP’ q dyf= f dxPdy q 
dx P dy q 
Auch haben die Functionen mehrerer Variablen totale Differenziale höherer Ord 
nung. Es war nämlich, wenn x, y von einander unabhängige Variable sind: 
df =li d * + Ty d *- 
Hierin sind die Vermehrungen dx, dy unendlich kleine von einander unabhängige 
Grössen, die man als constant betrachten muss. Man kann also mit Anwendung 
derselben Regel auch das totale Differenzial von df bilden, welches mit d 2 f be 
zeichnet wird, indem man erst nach x und dann nach y differenziirt: 
d 2 f d 2 f d-f 
d 'f=^ *’+ * *+5^*»'• 
und indem man so fortfährt: 
45*