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41 
Quantität. 
d 3 f 
708 
C J f 
Quantität. 
d 3 f 
(P f= w dxS + 3 ivTÄT, dx ' (, y+ 3 dx + .Vi d v 
uxny J 
dx 3 
ox - oy 
Der ganze Mechanismus der Rechnung zeigt, dass sich hierbei die Binomialcoeffi- 
cienten als Zahlenfactoren einstellen. Setzt man also; 
n, — n, M, 
n(tl — 1) 
1’2 
n(n— 1) . . . (n—S-fl) 
1 • 2 7T7s 
n , „ d n f n «7 
d n f(x, y) — dx + n, 
dx 
i « — ls 
ox oy 
dx' 
dy-\-n 2 
Ktl* 
ö f 
dx 
d !h 
■+■••• i d y • 
di 
>y 
Es kann diese Formel auch dargestellt werden durch den Ausdnick 
2) 
d n f{x, y )=d x n f +ni d x n -' dyf+n^J 1 -'*y /•+... +y /; 
wenn man auf die oben eingeführten Differenzialzeichen achtet. Symbolisch kann 
diese Formel auch geschrieben werden: 
3) 
d n r(x, y)=(d x+ d y ff(x, y ). 
Der Sinn dieser Bezeichnung ist der folgende. Es werden d und d zunächst 
x y 
als Grössen betrachtet, nnd (d -f-d ) nach dem Binomischen Satze entwickelt, 
x y 
dann aber die Bedeutung der Producte dj • d^ • f(x, y), welche sich hierbei ein 
stellen, derart ersetzt, dass man darunter dasjenige Differenzial versteht, welches 
mit djdyl f(x, y) bezeichnet wurde. Leicht zeigt sich auch, dass man in glei 
cher symbolischer Darstellung hat: 
4) 
d n f(x v , x 2 . . . x $ )-{d x +y+ • • . f f{x L> x 2 , . . a? 4 ). 
Um diese Formel zu beweisen, bemerke man, dass der ganze Mechanismus 
der Ableitung mit diesem übereinstimmt, wenn man die nte Potenz eines Polynoms 
(«i+Wj-f- . . ■ u s ) n entwickelt. 
Indess kann man die Formel 4) noch auf eine andere Art direct beweisen. 
Durch wiederholtes Differenziiren erhält man nämlich offenbar Ausdrücke von 
der Gestalt: 
d*f=d- 2 f+Ad v d f+Bdd f+ . . ., 
X ^ X 2 
<*Y=d 3 f+A,d 7 d f+B,d 2 d f+ 
»V il ^ 2 d/ij »V J 
also endlich: 
ct l f—2 f A f d ß i d . . 
f f x l x 2 
dx, 1 dx“ 2 
dx 
dx“ 1 dx 2 “ 2 ... dx g 
«i + «a+ • • • a s =«