Form (Zahlenlehre). 
setzen, d. h. die Summe 
n’ 
9 
2 n' 
-1 
2 n 
lei : 
: +- 
-= + 
■« ' i- ? 10 
, 4 ’+ ... ). 
erhält man alle möglichen 
ich 
ih+1 
= h—k, 
nd h—k gleichzeitig grade 
igrade ist, und umgekehrt; 
That immer das Quadrat 
es hei diesen Betrachtungen 
’1 
fenbar gleichbedeutend mit 
eben gefundenen Ausdruck 
7 2 O 
f V + . . ) 2 . 
gativen Zahlen zu nehmen, 
jen Factor im ersten Gliede 
]y 2 , und es ergibt sich aus 
H 8 ’+i 6 ’ + •• •) 
.. .)• 
Quadrat. Form (Zahlenlehre). 65 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
Auf einen Theil der hier entwickelten auf einem ganz andern Wege gefunden 
Reihen ist Jakobi durch rein analytische hat, in einfacherer Weise verbunden mit 
Betrachtungen, welche die Theorie der neuen Sätzen in diesem Gebiete. Es 
elliptischen Functionen betreffen, gekom- hat dadurch Dirichlet die Verbindung 
men. Ihre zahlentheoretische Ableitung, der Analysis und der Zahlentheorie be- 
die hier gegeben ist, rührt von Lejeune- gründet, welche von so grosser Wich- 
Dirichlet her. Die allgemeinen, demsel- tigkeit geworden ist. 
ben berühmten Mathematiker angehori- 21) Es sollen jetzt nach Dirichlet noch 
gen, Sätze, worauf dieselbe sich stützt, einige Anwendungen der Analysis auf 
geben zugleich diejenigen Betrachtungen 
über quadratische Formen, welche Gauss 
1 1 
*Kq)=~ttz+ 
die Theorie der 
gegeben werden. 
1 
quadratischen Formen 
Die bekannte Reihe: 
+- 
+ 
¿! + <? (¿ ) + «) 1 + i ) (/,+2 u) 
convergirtbekanntlich nur dann und dann wenn f(x) eine beliebige, in den Gren- 
immer für reelles p, wenn p positiv ist, zen x und x + h stetige Function, J- 
vorausgesetzt, dass b und a positive irgend ein positiver ächter Bruch ist 
Zahlen sind. Es kommt jetzt darauf an, (siehe die Artikel Taylorscher Satz und 
die Summe dieser Reihe für den Fall zu Reihen). Ist also 
ermitteln, dass g in’s Unendliche ab- _ 
nimmt. Bekanntlich ist f(x) — x , 
f (x-\-h) = JÄ), 
(i + a) — ^ — b~ 
(b+2a) ^ = (6-frt) 
(6+3a) _ <.’ = (b+2a)~V 
Addirt man alle diese Gleichungen, 
sich bis in’s Unendliche erstrecken, so 
werden sich alle Glieder links bis auf 
das letzte (b-\-na) $ wegheben, dieses 
aber, da n~co ist und p negativ, der 
Null sich nähern, so dass man hat: 
n = o r ' 1 
0=6 ^ — an 1 
so erhält man hieraus : 
-1-p 
-1-p 
-1-p 
^ — ag(b+ 9-a) 
' — ap(6 -f- a 4- & r a) 
—«p(6+2a+it'rt) 
die setzt man aber d- = 1, so wird die 
so Summe verkleinert, also: 
n — co 1 1 
n = 0 (6 + (w + l)a) 1 + ? «p6 ? 
1 
d. h. da 2~ 
die oben mit 
: Q (6-fna+Ja) 
1-j-p 
oder 
— 2 
agb$ n~0 (6+Md + #«) 
1 + p- 
& liegt immer zwischen 0 und 1. Setzt 
man also # = 0, so wird die rechte Seite 
der Gleichung vergrossert,und man erhält: 
n = oo 1 1 
n = 0 (6+«a)^^ agb*? ’ 
22) In der Gleichung: 
(6+na) 1 + ? 
^(p) bezeichnete Reihe ist: 
1 11 
^)>~7o und ^+T4^. 
agbQ agb' b*~^Q 
Da für unendlich kleines p beide Gren 
zen sonach zusammenfallen, so hat man 
als Grenzwerth von ip(g): 
lim xh(o) — 
api? 
oder da p der Null sich nähert: 
ap^(p) = l. 
21 
iAk)i = 
;+ A- 
- 4. 
- (ax 2 + 2bxy-\-cy 2 ) !> {a l x 2 +2b l xy+c l y 2 ) s 
die wir in Abschnitt 19) betrachtet ha- alle diese Divisionsreste sind zu 2A re- 
ben, wollen wir nun diejenigen Werthe lativ einfach, weil n selbst so beschaffen 
von n zusammennehmen, wo der Divi- war. Man erhält also auf diese Weise 
sionsrest von -IL denselben Werth hat; ^ l ® feiner als 2A und zu 
2 a 2 A relativ einfach sind. 
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