Quantität. 
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Quantität. 
also für x = cc: 
{x — a) 
= 0, 
(x 2 — a*) P 
wenn n, algebraisch genommen grosser 
als p ist, und: 
{x — a) 
(x 2 — a 1 )^ 
wenn das Umgekehrte stattfindet, 
für n—p ergibt sich; 
Nur 
r v 
(.X - a) 
1 
1 + 1^ 
x v dx 
‘ + 1 
1+2 
d l 
dx 
Beispiel. 
Sei; 
l) f +y 4 —1 
(* 2 - l) f -?y+l’ 
ein Ausdruck, der für x = l, y — 1 die 
Form % annimmt. — Durch Differen- 
ziiren erhält man: . 
f (x- 1)^+ 4 y- 
dx 
3x (x 2 — 1) T — 
dy 
{x 2 -u 2 ) V 
Wenn der unhestimmte Ausdruck meh 
rere Variablen enthält, so muss zwischen 
denselben irgend ein willkürlicher oder 
gegebener Zusammenhang angenommen 
werden, um den Werth des Ausdrucks 
zu ermitteln. 
Beispiel. 
Es sei gegeben: 
_ Igx+lg y 
*"x+2f/-3’ 
ein Ausdruck, der die Form % annimmt, 
wenn man setzt: 
x = l, y = 1. 
Denkt man sich y als Function von x, 
so erhält man durch Differenziiren des 
Zählers und Nenners: 
dx 
also für 
X = h y = 1, 
z=-i 
dy 
dx 
dx 
Es kann hierbei auch der Fall eintre- 
ten, dass die Differenzialquotienten von 
Zähler und Nenner Null sind, und man 
muss dann die nächsten Differenzial quo- 
tienten nehmen. 
Beispiel. 
Sei: 
z — -\ , x = 0, ?/ = 0. 
x 2 +y 2 ’ J 
Man erhält: 
2 t x+y) ( i+ S 
wo man für x und y die obigen Werthe 
. , dy . , . 
eingesetzt hat, — ist hier ganz un- 
dx 
bestimmt, und es kann dafür eine be 
liebige Function von x gesetzt werden. 
Es ist nämlich y der einzigen Bedingung 
unterworfen, dass für x — a, y = ß wird, 
wenn a, ß diejenigen Werthe sind, für 
welche die Function unbestimmt wird. 
Offenbar kann man also setzen: 
y = (f.(x)-(f.(a)-\-ß, 
eine Function, welche diese Bedingung 
erfüllt, und man hat: 
!="'«• 
also, da y> unbestimmt, eine ebenfalls 
willkürliche Function. 
Möglicherweise kann jedoch ^ ganz 
verschwinden. 
2x+2i/ 
dy 
dx 
was für x — y — 0 wieder -§ gibt. 
Abermaliges Differenziiren gibt: 
MD” 
wo 4^ wieder ganz willkürlich ist. 
dx 
d 2 y 
Es ist hier kein Zufall, dass 
nicht im Resultat vorkommt, sondern 
dies wird immer eintreten. Denn wie 
auch z beschaffen sei, so werden die 
Differenzialquotienten von Zähler und 
dy 
Nenner die Form haben: n-\-ß-^~, wo a 
und ß Functionen von x und y sind. 
Abermaliges Differenziiren gibt dann: