BbsüS? 
Quantität. 
721 
Quantität. 
Da nun dem Differenzialquotienten 
keine grössere Mehrdeutigkeit zukommen 
kann als y selbst, so muss y wenigstens 
eine ndeutige Function von x sein. Die 
n Werthe von aber zeigen, dass die 
dx 
Function y von x für den gegebenen 
Werth von x = « so beschaffen ist, dass 
sich für ein unendlich kleines v, n ver 
schiedene Werthe von: 
V, 
dy 
(*+»') 
ergeben, während y völlig bestimmt ist, 
man also das Blatt, auf welchem y zu 
nehmen ist, angegeben hat. Es müssen 
also von den Werthen von y, , >. n auf 
+ v) 
continuirlichc Weise aus einem Werthe 
von hervorgehen, d. h. mit andern 
•Worten, in Funkt x — ct n Werthe von 
y gleich werden, und y für den bezeich- 
neten Werth jedenfalls einen «fachen 
Funkt haben. Jedoch kann auch, wie 
wir sahen, ein n fach er Funkt dadurch 
angezeigt sein, dass ^ discontinirlich 
wird. 
Beispiel. 
Sei gegeben: 
f{x, y)~mx i — ny* -\-px y — 0. 
Man erhält durch Differenziiren: 
2mx—2ny ■¡j~+P x ‘^ c J rPy z=() - 
~ nimmt hier für # = 0, wo sich mittels 
dx 
der Gleichung f{x, y)~ 0 auch y — 0 er 
gibt, die Form g an. Abermaliges Diffe- 
renziiren aber gibt: 
—(SV 4 - 
dx 
-0, 
= ^- + JPl 
n — \ n 2 
+ 
dene Werthe von 
dx' 
px 
y — — + 
J 
+ 
zialquotient unendlich wird, davon soll 
später die Rede sein. 
Es kann aber hei der Gleichung 
fix, y) = 0 auch der F'all Vorkommen, 
dass für einen bestimmten Werth von 
x~a die Gleichung identisch erfüllt wird, 
was auch y sei. In diesem Falle würde 
sich also der Werth von y nicht direct 
ergeben. Durch Differenziiren aber er 
hält man wieder: 
o M + d J*a, 
dx ' dy dx 
und für x~a wird: 
S J= o 
oy 
sein, weil f (a, y) identisch der Null 
gleich ist. Es wird also auch sein : 
eine Gleichung, welche den zu x~k ge 
hörigen Werth von y gibt. 
Wäre auch die Gleichung: 
s'=» 
identisch erfüllt, so müsste nochmals 
differenziirt werden. 
Beispiel. 
Sei gegeben: 
f(x, y) = m x* — x + \g{l+xy)=0. 
Für x = 0 wird diese Gleichung, was 
auch y sei, identisch erfüllt. Differen 
ziirt man aber, so ergibt sich: 
2mx—1+ 
* d i+y 
dx J 
1+xy 
= 0, 
also man hat in der That zwei verschie- 
dy 
Löst man die 
Gleichung f (x, y) = 0 nach y auf, so 
hat man; 
und für # = 0 werden beide Wurzeln der 
Null gleich, so dass, wie vorauszusehen 
war, ein Doppelpunkt stattfindet. 
Wie sich diejenigen mehrfachen Punkte, 
wo diese Bedingung stattfindet, von den 
jenigen unterscheiden, wo der Differen- 
oder da,a; = 0 ist: 
V- L 
Sei ferner: 
fix, y) = (y i -l)a: 2 — ?/[Ig(l-f*)] 2 = 0, 
welche Gleichung ebenfalls für # = 0 
identisch wird. Das Differenziiren gibt: 
2* (jr*-l)+2»*s !|| Dg(!+«)]’ 
* 1+a: 
wo die mit ^ multiplicirten Glieder für 
x — 0 verschwinden müssen, also: 
x{y 2 -l)(l+x)—y]g (1 + #) = 0. 
Auch diese Gleichung aber wird iden 
tisch für x— 0. Differenziirt man nun 
abermals, so kommt: 
46