Quantität. 
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Quantität. 
dy änderter Form geben wollen, um auf 
(*/' 1) (1 2ic)-{-2(1 + a:) i/ — die mehrdeutigen Functionen in der ihnen 
hier gegebenen genaueren Versinnlichung 
ci H jg | V — q Rücksicht nehmen zu können. Zu dem 
dx ° l-f-a-’ ’ Ende machen wir folgende Vorbemer- 
also für a; = 0: kungen. 
2 A) „ Eine geschlossene Curve führt 
y'"~y~*- — ' - von einem Punkte a zu demselben 
Es ergehen sich also für y die beiden mit demselben Functionswerthe wieder 
Wurzeln dieser Gleichung. zurück.“ 
12) Von den Integralen mono- 
gener Functionen. 
Es ist hei der Betrachtung der Func 
tionen complexer Variablen nicht thun- 
lich, die Betrachtungen der Differenzial 
rechnung zu Ende zu führen und dann 
erst auf die umgekehrte Operation, die 
Integralrechnung einzugehen. Es sind 
also die in dem Artikel (analytische) 
Quadratur gegebenen Betrachtungen hier 
bis zu einem gewissen Grade vorausge 
setzt. Namentlich wären hier die in den 
Abschnitten 1) bis 13) dieses Artikels 
gegebenen Sätze einzuflechten. — Wir 
erinnern namentlich an die Definition 
eines bestimmten Integrals: 
x 
/• n 
j f{x) dx = hm [(*,-*„) f(x a ) 
+O r 2- a ri)/’Oi)+ • • • 
wo die Zwischenwerthe zwischen x 0 und 
x , also continuirlich aus 
einander entstehen, also irgend eine von 
x n und x begrenzte Strecke ausfüllen, 
die im Uebrigen ganz beliebig ist. — 
Auf dieser Definition beruht die Theorie 
der Mehrdeutigkeit der Integrale, die wir 
jedoch hier nach Rieraann in etwas ver- 
Man kann daher jede Curve, die kei 
nen Windungspnnkt enthält, als ge 
schlossene betrachten, wenn man beide 
Seiten als Begrenzung auffasst. Z. B. 
die grade Strecke ABC ist geschlossen, 
wenn man auf einer Seite von A nach 
C, auf der andern von C nach Ä zu 
rückgeht. Auch kann nur von einem 
Theil der Begrenzung die andere Seite 
mitgezählt werden; z. B. wenn zwei sich 
nicht schneidende Kreise durch eine Grade 
verbunden sind, so hat man eine ge 
schlossene Curve, wenn beide Seiten der 
Graden gezählt werden. 
B) „Eine Curve begrenzt einen Theil 
einer Fläche, wenn man, ohne erstere 
zu durchschneiden, nicht von diesem 
Theile zu der andern Fläche oder um 
gekehrt gelangen kann.“ 
Auf einer Ebene oder Kugel begrenzt 
selbstverständlich jede geschlossene Curve 
einen Theil der Fläche. Solche Flächen 
nennt man einfach zusammenhängende. 
Unsere Flächen, welche mehrdeutige 
Functionen versinnlichen und welche 
längs der Verzweigungslinien Zusammen 
hängen, sind dergleichen nicht. Habe 
z. B. eine Function drei Doppelpunkte 
a, b, c (Fig. 73), und bilden wir die ent 
sprechenden, ins Unendliche gehenden 
Verzweigungslinien, die wir mit A, B, C 
bezeichnen. Ziehen wir dann z. B. von 
Punkt p aus auf einem der beiden Blät-