Quadrat. Form (Zahlenlehre). 66 Quadrat. Form (Zahlenlehre). 
Diese Zahlen seien: , / 2 
2 — = 2 
s 
und sei ferner 
1 
n (2 A 
1 + p 
(2 A £ + ^ 2 ) 
1+7 
s = l + p, also: 
+ 
wo die Summen auf die Werthe von t len zu einer gegebenen x relativ einfach 
gehen. Also wenn man p ins Unendliche und kleiner als diese Zahl sind. Man 
ahnehmcn lässt, so ergibt sich —^— ^ at a ^° ' 
2 Ap _ 1 v(2A) 
als Werth jeder Reihe, die Anzahl die- ^ i_j_ 0 — 
ser Reihen aber ist </(2A), unter q(x) n ' 2Ao 
die bekannte zahlentheoretische Function Wir betrachten nun den Ausdruck 
verstanden, welche angibt, wie viel Zah- rechts: 
{ax 2 -\- 2 bxy+cy 2 )^^^ (a l x 1 +2h, xy c l y 2 )^ ^ 
+ 
Es ist hierbei nicht grade nöthig, im 
Nenner nur die reducirtcn Formen jeder 
Klasse zu betrachten, sondern man kann 
überhaupt aus jeder Klasse eine beliebig 
als Vertreterin dieser Klasse nehmen. 
Auf diese Weise kann man es stets so 
einrichten, dass die Coefficientcn a, a v ... 
zu 2A relativ einfach sind. Es sind 
dann zu setzen: 
x=2A<+<b y — 2/\u-\-y, 
Sei jetzt y ungrade und möge 
zunächst A grade sein, so ist 
ciu + by ungrade und relativ einfach zu 
A zu nehmen, d. h. auch zu 2A> also 
der Fall ist ganz wie der obige zu be 
handeln. 
Seien nun gleichzeitig y und 
A ungrade, so ist au-\-hy grade und 
relativ einfach in Bezug auf A zu neh 
men ; es sind also die Zahlen der Reihe 
wo t und u alle ganzen Zahlen, « und y 
alle Zahlen von 0 bis 2A —1 vorstellen 
und immer ist: 
A-fi mod2A’ ^mod2A‘ 
Es muss also jetzt 
an 2 +2bccy + cy 2 
relativ einfach zu 2A sein, aber da dies 
in Bezug auf a stattfindet, so kann man 
auch diesen Ausdruck mit a multipli- 
ciren; also ist 
(cia + by) 2 + A y 2 
relativ einfach zu 2A- 
Sei y zunächst grade, so muss 
aa-\-by 
zu 2A relativ einfach sein. Setzt man 
für « alle Zahlen von Null bis 2A—1, 
so kann man für den Ausdruck act+by 
alle Reste in Bezug auf 2A setzen. Es 
sind dies bekanntlich dieselben Zahlen, 
aber in andrer Ordnung; </(2a) ist die 
Anzahl derjenigen darunter, welche auch 
zu 2A relativ einfach sind. 
0, 2, 4 . . . 2A—2 
zu betrachten, welche zu 2A relativ ein 
fach sind, oder was dasselbe ist, man 
betrachtet die Zahlen der Reihe 
0, 1, 2 . . . A — 1, 
welche zu A relativ einfach sind. Ihre 
Anzahl ist also y(A), da aber y(2) = l 
ist, so hat man 
7 ( A) = y (2) 7 ( A) ='/ (2 A) 
und immer also'ist die fragliche Anzahl 
= y(2A), d. h. es entsprechen jedem y 
immer y(2A) Zahlen ce. Da die Anzahl 
der y aber gleich 2A ist, so hat man 
2A*y(2A) Werthe, die den a und y 
entsprechen. 
23) Diese Entwickelungen machen cs 
jetzt möglich, die Frage zu beantworten: 
„Wie oft wird ax 2 +2bxy-{-cy 2 nicht 
grösser, als eine gegebene Zahl a wer 
den, wo 
^• = 2Ai + fi, y = 2Aw+y 
gesetzt wird, a aber eine sehr grosse 
Zahl wird?“ 
Diese Frage ist offenbar gleichbedeutend mit der folgenden: 
„Wann ist 
Quadrat. E 
Wir setzen: 
x 
v<* 
also es soll 
ai 2 - 
werden. 
Denkt man 
rechtwinkligen 
tes, so stellt ir 
b‘ 
also negativ ist 
eine Ellipse voi 
«; c2 h 
umfasst die Ci 
die innerhalb d 
rem Umfange 1 
Berücksichtig! 
gen Werthe voi 
eine arithmetisc 
wie die Werth' 
Differenzen bei 
unter einander g 
dass die Coordi 
gegen den vor! 
Stück wachsen, 
£, y Quadrate i: 
den. Wird a s 
die Anzahl der ( 
24) In der 
(ax 
denken wir uns 
und die Ausdrücl 
Grösse nach geo 
dem kleinsten b 
gleich 
Wir setzen ferne 
und beweisen, <3 
sich p einer Cc 
n 
Es gibt nämlk 
haben, n Werthe 
grösser als l s 
n