Quantität. 
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Quantität. 
ter eine Curve, welche a und b ein- 
schliesst, bis nach p zurück, so ist dies 
eine geschlossene Curve, denn sie führt 
auf dem ersten Blatte von p nach Linie 
A, geht hier heim Durchschneiden von 
A auf dem zweiten Blatte nach B, und 
beim Schneiden dieser Linie wieder auf 
dem ersten nach p zurück. Indessen 
kann man von Punkt q auf dem ersten 
Blatte auf der äussern Seite der Begren 
zung nach r innerhalb derselben auf 
demselben Blatte gelangen. Man ziehe 
nämlich von q nach C auf dem ersten 
Blatte und durchschneide die Linie C, 
womit man ins zweite gelangt, dann kann 
man, ohne die von p gezogene Curve 
zu durchschneiden, in s ins Innere ge 
langen, da man sich ja auf dem zweiten 
Blatte befindet, die Curve aber im ersten 
gezogen ist. Durchschneidet man in i 
Linie B, so gelangt man wieder ins erste 
Blatt und auf diesem nach r. 
Kann man auf einer Fläche n ge 
schlossene Curven ziehen, welche keinen 
Flächentheil begrenzen, derart, dass jede 
andere eine solche Begrenzung bildet, 
wenn man diese n zu Hülfe nimmt, so 
sagt man, die Fläche habe einen 
n-f-1 fachen Zusammenhang. Eine Func 
tion z. B. mit drei Doppelpunkten hat 
einen dreifachen Zusammenhang, denn 
es ist leicht zu sehen, dass mit Hülfe 
der durch p und q gezogenen Curven 
jede andere geschlossene einen Flächen 
theil begrenzt. Denkt man sich die 
äusseren und inneren Seiten der Curven 
p und q als Begrenzung der bis jetzt 
unbegrenzten Fläche, was auch so aus 
gedrückt werden kann, dass man die 
Fläche in diesen beiden Curven zerschnei 
det, so wird aus ihr eine einfach zusam 
menhängende. 
Nach dieser Einleitung lässt sich die 
Theorie der Mehrdeutigkeit der Integrale 
(vergleiche den Artikel: Quadratur) aus 
dem Satze ableiten: 
I. Lehrsatz. 
„Der Ausdruck jf(z)dz, ausgedehnt 
auf irgend eine geschlossene Curve, ist 
dann gleich Null, wenn letztere einen 
Flächentheil begrenzt, und sich innerhalb 
desselben kein Discontinuitätspunkt be 
findet.“ 
Beweis. 
Man betrachte den Ausdruck: 
ausgedehnt über den von der geschlosse 
nen Curve begrenzten Ebenentheü. Da 
Discontinuität im Innern nicht vorhan 
den ist, kann die Ordnung des Integri- 
rens umgekehrt werden. Man erhält mit 
Berücksichtigung der Grenzen: 
wenn man annimmt, dass die den x- und 
y- Axen parallelen Linien die Curven 
nur zweimal schneiden. 
p lf Po sind die Werthe von p, welche 
demselben y auf der Begrenzung, q L und 
q 0 die von q, welche demselben x ent 
sprechen. Das erste Integral ist vom 
kleinsten Werth von y bis zum grössten, 
das letztere vom kleinsten Werth von x 
bis zum grössten zu nehmen, und da 
beide Wege einander entgegengesetzt 
sind, ist das zweite Integral mit negati 
vem Zeichen zu nehmen. Statt dessen 
kann man auch setzen: 
erstreckt über die ganze Begrenzung. 
Denn da die ganze Abscissenaxe zurück 
gelegt wird, indem man alle entsprechen 
den Werthe q, , dann aber die zugehö 
rigen —q 0 nimmt, so kann man statt 
des letztem Weges die Axe in umge 
kehrter Richtung mit -f-y«» 4. h. die 
ganze geschlossene Curve zurücklegen, 
indem man immer das entsprechende q 
nimmt. Gleiches findet für p statt. 
Dies bleibt noch richtig, wenn die Be 
grenzung mehr als zweimal geschnitten 
wird, wenn man je zwei Punkte dersel 
ben, die demselben x oder y bezüglich 
entsprechen, als p v p 0 und q t , q 0 be 
trachtet. Der zuerst betrachtete Ausdruck 
^4- ~ sei nun gleich Null , dann ist 
ox oy 
auch: 
f(P dx-\-q dy) = 0. 
Setzen wir nun: 
f{z) = x+yi, p = f{z), y = if(z>), 
so ist also: 
f /» di =J W*) {dx+idy) 
der Null gleich, wenn man hat; 
“ÄT + ~fry~~"' 
eine Gleichung, welche immer erfüllt 
wird, wenn f\z) eine monogene Func 
tion ist. 
Hieraus ergibt sich sogleich: 
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