Quantität. 
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Quantität. 
II) „dass man für einen Weg des In 
tegrals f /*(*) dz, der von a nach b führt, 
jeden andern nehmen kann, der von a 
nach b führt, wenn beide zusammen eine 
Curve von der eben angegebenen Eigen 
schaft bilden.“ 
Denn die Summe der Integrale von 
a nach b auf dem einen Wege und von 
h nach a auf dem andern ist nach obi 
gem Satze gleich Null, d. h.: 
f' /(.)&+/’“/(*)* = 0, 
j a J b 
d. h.: 
b pb 
f (&) dz — I f (s) di, 
a • * a 
wo das erstere Integral auf dem einen, 
das letztere auf dem andern Wege zu 
nehmen ist. 
Der Werth von J f (z) dz-, erstreckt 
über irgend eine geschlossene Curve A, 
ist gleich demselben Integral, erstreckt 
in demselben Sinne über eine oder meh 
rere geschlossene Curven B, wenn sich 
zwischen A und den letzteren kein Dis- 
continuit'ätspunkt befindet, und das Sy 
stem A und B einen Elächentheil be 
grenzt. Denn verbindet man einen Punkt 
von A mit der ersten Curve B, einen 
Punkt dieser mit der zweiten Curve B 
u. s. w., die letzte Curve B aber wie 
der mit A, rechnet aber beide Seiten 
dieser Hülfslinien zur Begrenzung, so 
bilden A und B mit ihnen eine ge 
schlossene Curve, also das über A er 
streckte Integral ist gleich dem über B 
und die Hülfslinien erstreckten. Es 
fallen aber die letztem ganz weg, da 
auf der einen Seite in einem Sinne, auf 
der andern im entgegengesetzten über 
sie die Integration auszudehnen ist, und 
und da nur geschlossene Curven durch 
gegangen werden, Eindeutigkeit statt 
findet. 
Aus II. folgt auch augenblicklich, dass 
man statt eines Integrals, das sich über 
eine in sich zurückkehrende Curve er 
streckt, auch die Summe der über die 
ihr entsprechenden Elementarwege er 
streckten setzen kann, wenn sie keinen 
Discontinuitätspunkt umschliesst. Aber 
selbst wenn solche vorhanden ist. kann 
man dies noch thun, wenn man die Ele 
mentarwege hinzufügt, die diesen Dis- 
continuitätspunkten entsprechen. Denn 
die Summe der so entstehenden Wege 
bildet mit dem gegebenen eine Curve, 
welche Bedingung II. erfüllt. — Ist übri 
gens ein Discontinuitätspunkt kein Win 
dungspunkt, so heben sich die gradlini 
gen Theile der Elcmentarcurve weg, und 
sie beschränkt sich auf einen Kreis. 
Ein über einen Elementarweg erstreck 
tes Integral heisst Elementarintegral. 
Ist z. B. M (Fig. 74) ein Discontinuitäts 
punkt, so ist das Elementarintegral zu 
Fig. 74. 
bilden, indem man von a nach b, um 
M herum nach b zurück und nach a 
geht, und wenn keine Mehrdeutigkeit 
stattfindet, haben das von a nach b und 
das von b nach a erstreckte Integral die 
Summe Null. 
Bei einem Windungspunkte verschwin 
det aber in der Regel der kreisförmige 
Theil eines Elementarintegrals, nämlich 
dann, wenn für den Windungspunkt « 
der Ausdruck: 
J'tf (z) dz —J f{(t + Qe 1 *) e f l df 
zum Argumente Null hat, d. h. wenn 
sich zf{a+z) mit abnehmendem z der 
Null nähert. Dies ist also immer der 
Fall, wenn endlich ist, also wenn 
« nicht zugleich ein Discontinuitätspunkt 
ist, aber auch dann, wenn f{<x+z) zwar 
ein solcher, aber mit 2 é proportional 
ist, wo t ein positiver echter Bruch ist. 
Diese Sätze erhalten dadurch noch 
eine Erweiterung, als nicht alle Discon- 
tinuitäten ihre Anwendung ausschliessen. 
Ist « ein Discontinuitäts-, nicht aber 
zugleich ein Windungspunkt, und neh 
men wir an, dass sich die Function 
nach positiven und negativen Potenzen 
von z — a in der Nähe von a entwickeln 
lässt. Denke man nun in n als Mittel 
punkt einen kleinen Kreis O, der inner 
halb der Begrenzung liegt, so ist das 
über diesen erstreckte Integral gleich 
dem über die Begrenzung erstreckten, 
wenn kein anderer Discontinuitätspunkt 
sich innerhalb derselben befindet. Fin 
det letzteres statt, so ist das Integral 
über eine Anzahl von Kreisen, welche 
die Discontinuitätspunkte umgeben, gleich 
dem über die Begrenzung erstreckten. 
Der Ausdruck f{z) auf einem dieser 
Kreise besteht nun aus einem nach po