Quantität. 
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Quantität. 
kann (also durch Umgehen von Win 
dungspunkten), so ist jede Periode eines 
Werthes f s {z) auch solche eines jeden 
andern f (*). Denn sei z. B. aicsm 
(Pig. 75) eine Curve, welche einer Pe- 
Fig. 75. 
riode von f g {z) entspricht. Geht man 
nun von n mit Werth f t (s) aus, und 
beschreibt irgend einen Weg hnKlfg, der 
zu f(z) führt (also Windungspunkte um 
kreist, wie hier nicht angegeben), geht 
dann von g nach a mit f {z), und be 
schreibt eine beliebige Anzahl von Ma 
len die Periodencurve atosm, geht dann 
den Weg agflKnh zurück, so kommt 
man mit /¿(s) wieder in h an; das 
entsprechende Integral ist also auf 
einer geschlossenen Curve, und somit 
eine Periode von f (z). Es heben sich 
aber die Wege bis auf awsm ganz weg, 
so dass die Periode von f (z) mit der 
eben genannten identisch ist. 
Eine Curve, die alle critischen Punkte 
umgibt, ist dann eine geschlossene (ver 
gleiche Abschnitt 4), wenn der Unend 
lichkeitspunkt kein Windungspunkt ist. 
In diesem Falle gibt also die fragliche 
Curve eine Periode. 
Die Perioden einer Function können 
insofern von einander abhängig sein, 
als eine, L, eine Summe von andern 
Perioden K und K v sein kann, also z. B,: 
L = mK-\-nK l . 
/ dif=.2ni, 
f n 
und somit ist: 
' b dx 
P u dx _ r( ah )dx 
J a x J 
+2 nni, 
wo das erste Integral rechts auf dem 
gradlinigen Wege ab genommen ist. 
Diese Gleichung enthält also die Mehr 
deutigkeit der Logarithmen. 
Eine zweite Periode würde der Un 
endlichkeitspunkt geben; da aber für 
1 
x — — ; 
y 
f d i=-f 
so ist diese Periode der ersten 
ist, 
gleich. 
2) Sei j f(x)dx zu prüfen, wo: 
f( X )- 1 + x 2 
ist. Man hat zwei Discontinuitätspunkte, 
welche a;=+i und x=~i entsprechen. 
Für x = — ergibt sich: 
y 
dxy 
j f ix) dx~ -f T 
1 +y 2 ' 
was keinen critischen Punkt gibt. Es 
haben also beide Perioden die Summe 
Null, die eine ist auf die andere zurück 
geführt. Setzt man x = i-\-ge^ 1 , so wird, 
wenn g unendlich klein, p 2 = 0 gesetzt 
wird: 
J fix)dx=J* 
de*' 
r 
n 
dfzzTj, 
0 2iq e ( * 1 *•' o 
also ist 7i die Periode. Das betreffende 
Integral stellt bekanntlich den Arcus 
tangens vor. 
3) Sei: 
^ ^ V(«i• • • (« 2n ~^ 
Dann ist offenbar überflüssig, die Pe 
riode L zu betrachten. 
Beispiele. 
/ dx 
— hat eine Pe 
riode, die dem Discontinuitätspunkte 
« = 0 entspricht. Setzt man; 
x—r e'J\ 
so ergibt die Periode: 
Nach vorigem Abschnitte ist das auf 
den Unendlichkeitspunkt bezogene Ele 
mentarintegral gleich 0, wenn n grösser 
als 1 ist. Von den übrigen fallen die 
kreisförmigen Theile weg. Je zwei ge 
ben eine Periode, da man beim Umkrei 
sen des einen Windungspunktes das Zei 
chen ändert, bei dem des andern das 
selbe also wieder herstellt. Den Win 
dungspunkten «j, « 2 . . . entsprechen 
die Elementarintegrale: