Quantität. 
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Quantität. 
dass ein Maximum oder Minimum statt 
findet, wenn es nämlich nicht sein Zei 
chen wechselt. Wenn aber f r (x) z. B. 
positiv, dann Null wird und positiv bleibt, 
dann hat f r (x) selbst ein Minimum, und 
wenn es erst negativ ist, ein Maximum, 
in beiden Fällen also ist f ,r (#) = 0, und 
ist im ersten Falle positiv, im 
zweiten negativ. 
f" (x) aber kann nach dem eben Ge 
sagten gleich Null sein, ohne dass f (x) 
ein Maximum oder Minimum hat. Dann 
ändert es sein Zeichen, und f(x) hat ein 
Maximum oder Minimum. In diesem 
Falle ist — Q u. s. w. Das Ge 
sagte fasst sich in dem Satze zusammen: 
„Hat f{x) ein Maximum oder Mini 
mum, so muss eine ungrade Anzahl der 
auf einander folgenden Differenzialquo 
tienten verschwinden, und der erste er 
scheinende im ersten Falle negativ, im 
letztem positiv sein.“ 
Ausgenommen ist der Fall, wo f r (x) 
oder der erste erscheinende Differenzial 
quotient discontinuirlich ist. Dieser Fall 
ist besonders zu untersuchen. Es muss 
dann: 
im ersten, und : 
im zweiten Falle sein, wo v unbestimmt 
klein ist. 
In diesen Betrachtungen ist die Theo 
rie der Maxima und Minima der Func 
tion einer Variablen enthalten. 
Beispiele gibt der Artikel: Maxima 
und Minima. 
Wir entwickeln aus dieser Theorie 
noch einen wichtigen Satz. 
Seien die Functionen F und + sowie 
ihre Differenzialquotienten continuirlich 
zwischen den reellen Grenzen a und 
a+h, ausserdem aber habe in diesen 
Grenzen i P kein Maximum oder Mini 
mum, werde also <P f hier nicht ’gleich 
Null, dann hat in diesen Grenzen offen 
er' (x) 
bar der Ausdruck —^-4 einen grössten 
<P'{x) 
und einen kleinsten Werth, die wir be 
züglich mit G und K bezeichnen. Es 
ist also dann; 
oder: 
*•'(*) , r 
<P’{x) <G ' 
r(x) 
*'(*) 
K, 
F'(x)-G </>'(*)<(), 
F'(x)-K<P'(x)> 0, 
wenn +' (x) positiv ist. Ist es negativ, 
so ist der erste Ausdruck grösser, der 
zweite kleiner als Null. Beide Aus 
drücke sind die Differenzialquotienten 
bezüglich von: 
F(x) — G </> O), F(x) - K<P (*), 
von denen also der erstere mit wachsen 
dem x ahnehmen, der letztere zunehmen 
wird, wenn <p (x) positiv ist. Es wird 
also sein: 
F(a + h) — G <l> (a + h)<F(«) — G <l> (a), 
d. h.: 
F{a + h)-F{a) 
‘P (a + h) — <P (</) ' ’ 
oder grosser als G, wenn <p\x) nega 
tiv ist. Ebenso ergibt sich; 
F(a+h)-F(a) 
* (a+h)-<P(ay ’ 
Dasselbe findet statt, wenn </>' (x) ne 
gativ, da in diesem Falle; 
•P (a + h)<'P («), 
also der linke Nenner negativ ist. 
Da nun diese Werthe bezüglich der 
F f (x) 
grösste und kleinste Werth von —, 
<P\x) 
einer continuirlichen Function von x wa 
ren, so muss der Ausdruck links einem 
zwischen den Grenzen a und a+h lie- 
pf ( x \ 
genden Werthe von — f gleich sein. 
Ist 9 ein echter positiver Bruch, so 
nimmt jeder dieser Werthe von x den 
Ausdruck a -f- 9h an, und man hat also 
den merkwürdigen Satz: 
P(a+h)-P(a) __ F'(a+9h) 
<P(a +h) — +(a) ( P' (a-f- 9 ä)’ 
wenn nur <p'(x) in den Grenzen a und 
a + h nicht verschwindet. 
Aus diesem Satz leiten wir den Eest- 
werth des Taylor’schen Satzes für reelle 
Functionen ah. 
Es kommt nämlich oft vor, dass man 
den Grad der Convergenz der Potenz 
reihen wissen muss, also wie gross der 
vernachlässigte Theil, der Best ist, wenn 
man n Glieder des Taylorschen Satzes 
nimmt. Diesem Beste soll hier ein all 
gemeiner Ausdruck gegeben werden. 
Zu dem Ende setzen wir in Glei 
chung 1): 
F(x) = f(a+h)-f(x)-(a+h-x) f f (x) 
(a+h-x) n ( n ) 
1 • 2 . . . n 1 { h