Quantität. 
739 
Quantität. 
47" 
öf_ = ¿L = 
dx t dx 2 
Ö£ 
dx 
Continuität der Differenzialquotienten vorausgesetzt. Es muss also die homogene 
Function zweiter Ordnung: 
fö'f 
da; 2 
dx 2 -f 2 
c 1 
t?Y 
r—r— dx dx. 
dx dx. S t 
wo s und t alle Werthe von 1 bis n annehmen, im Falle des Maximum negativ, 
im Falle des Minimum positiv sein. 
Es ist gezeigt in dem Artikel: Quadrat, wie man eine solche Function in 
eine Summe von n Quadraten von der Form : 
a i dx l +a 2 dx 2 + . . , 
verwandelt. Bei dieser Verwandlung war aber jedes Glied unter dem Quadrat 
zeichen mit einer Quadratwurzel als Factor behaftet, welche von den Coefficienten 
d-f dif 
dx J ’ dx dx. 
~— abhängt. Rückt man diesen Factor aus dem Quadrat heraus, so 
t 
ist jedes mit einem Coefficienten, der positiv oder negativ sein kann, multiplicirt. 
Es ist klar, dass im Falle des Maximum alle diese Coefficienten negativ, im Falle 
des Minimum positiv sein müssen. Haben sie ungleiche Zeichen, so findet keins 
von beiden statt. Diese Bedingungen sind nothwendig und ausreichend, den Fall 
o* f d* f 
ausgenommen, wo die Grössen ^ ' a ‘ le verschwinden. Dann wäre ganz 
s x s ux t , 
wie oben auf die Glieder höherer Dimension zurückzugreifen. 
Betrachten wir z. B. die Function zweier Variablen f(x L , x 2 ), so mnss sein: 
a d f 
dx 
■ = 0. 
Sei noch: 
-b, 
d 2 f 
dx, 2 
dx t 2 dx l dx 2 
so ist das Glied zweiter Dimension : 
adx l 2 +2h dx L dx 2 4-cdx 2 2 —a (dx v +— dx 2 ) 2 -\-(c— 
also im Falle des Maximum oder Minimum bezüglich; 
Wegen der ersten Bedingung ist im Falle des Maximum ca—b 2 >0, und ebenso 
im Falle des Minimum. In beiden Fällen muss also ca>6 2 sein, wobei die Be 
dingung aij0 beide Fälle von einander trennt. 
16) Beispiele zum Taylor’schen Satz. 
Wir geben jetzt einige Beispiele für die Benutzung der Taylor’schen Reihe. 
Der Ausdruck (x-f/t)” soll entwickelt werden für reelles und imaginäres n. 
Es lässt sich zeigen, dass diese Entwickelung gelten muss, so lange der Modul 
von h kleiner als der von x ist, mit Ausnahme des Falles, wo n eine ganze po 
sitive Zahl, also die Reihe eine endliche ist, und für jedes h gilt. — Denn sei 
ct 
zunächst n ein echter oder unechter Bruch, also n~ —: 
P 
ß 
(x+h) n =V (x+ hf. 
Setzen wir h-~x-j-re? 1 so wird: 
f{x+h)‘ 
l zzy>, 
« 7