Quantität. 
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Quantität. 
also für ff — 0 und für (f : 
n a lani 
(x-fh) n = r^ und (x-\-h) n = r e ß . 
Man kehrt also erst nach ß maligem Umkreisen des Punktes h~—x zu dem An 
fangswerth : 
u 2aßni u 
zurück, und es ist dies ein Windungspunkt. Somit hört die Richtigkeit der Ent 
wickelung auf, wenn der Modul von h den von x erreicht. Gleiches gilt, wenn 
n irrational ist, da dann r l und r n e 2nnl ebenfalls ungleiche Werthe haben. Auch 
kann ohne Aenderung dieser Betrachtungen n negativ sein. 
Sei jetzt aber n eine beliebige complexe Zahl, so hat man: 
(x+hf=e nl Z 
aber für h— —x : 
lg(x+A) = lgO = co, 
wo dann also Discontinuität eintritt. 
Für: 
f(x)=x 11 
ist nun; 
f (x)~nx n 1 , f ff (x)~n(n—V)x n . . . f( S \x) = n(n—l) 
. . . (n—s-f-l)x M s , 
also wenn man: 
_ n (n—1) . . • (m — s + 1) 
U $ 1 • 2 . . . s 
setzt: 
/ i W | W t; | W—** L i n . * W ■ S 7 S 
\x~\~ti) =x +nx h-\~n^x A a + • . • x k 
+ w s4.i (a'+S'A)” ^ ' ä s+1 , 
wo man statt des letzten Gliedes auch setzen kann : 
(n+l) «, + x (I - »f (*+ » hf ~ S ^~ V + 1 , 
natürlich nur dann , wenn x und h reell sind , und dieses letzte Glied gibt die 
Grenze des Fehlers an. Setzt man z. B. « = 1, wo man dann hat: 
(!+*)" = 1+«Ä+"J^A*+ . . ' +M h S + . . . 
Der Modul von h muss kleiner als 1 sein. Es wird, wenn man mit n^h s ab 
bricht, der Fehler zwischen: 
n $+i h n+1 und « s+1 (1+h) n ~ s ~ 1 A s + 1 
liegen; er wird also, wenn n und h positiv sind, nicht grösser als der letztere 
Ausdruck, wenn h negativ, n positiv ist, nicht grösser als der erstere sein können. 
Sei ferner: 
f{x+h)=z\g(x+h). 
Die Reihenentwickelung gilt, so lange mod Äcmod x ist, da für h — — x Discon 
tinuität eintritt. 
Man hat: