Quantität. 
Quantität. 744 
u=z——, f(») = 7 (u), 
so ergibt sich sogleich: 
dem dies für einen oder den andern der 
Werthe stattfindet, ist das Zeichen der 
Wurzel von 
2 — 
» 1 
2 - 2" + 
+1 positiv 
■+lj 
und: 
«=KI±i/t+0- 
Untersuchen wir jetzt, 
Grenzen von & sich die Fnnction f(z) 
nach ganzen positiven Potenzen von u 
entwickeln lasse. Bedingung, dass eine 
solche Entwickelung überhaupt möglich 
sei, ist die, dass <f (u) für m = 0 keinen 
critischen Punkt habe. Diesem Werthe 
entspricht *=+!, je nachdem man der 
Wurzel das eine oder das andere Zeichen 
gibt. Es muss also wenigstens einer 
der Werthe 7(+l) und f(—1) keinem 
critischen Punkte entsprechen. Je nach- 
oder negativ zu nehmen. Erfüllen beide 
Werthe die Bedingung, so ist das Zei 
chen beliebig. 
Um die Grenzen der Gültigkeit unse 
rer Entwickelung zu finden, fragt sich, 
welche Werthe von z einem gegebenen 
,-eichen Modul von u entsprechen. — Zu dem 
Ende setzen wir: 
'ii 
iji 
, = re i , 
also: 
.9 i ui 
qe = re 
i 
d i — <l i 
qe —re 
also durch Multiplication: 
ui 
e f 
1 
•==(»•—i-) 2 cos <f 2 + (r+i)‘ 
sin ff - 
und 
ff, q ist eine 
oder: 
r 4 — 2r 2 cos 2ff — q 2 r 2 -f-l = 0. 
Es ist dies die Gleichung einer Curve in Polarcoordinaten r 
gegebene Constante. Führt man rechtwinklige Coordinaten ; 
X-V COS ff, y = r Sin ff 
ein, so erhält man: 
(x 2 +y 2 ) 2 -Z{x 2 - y 2 )+q 2 (* 2 +y ? )+l = 0. 
Die Curve, welche wir mit U bezeichnen wollen, ist also vierten Grades. Aus 
der Gleichung derselben ergibt sich: 
1 = c os 27-+^ ± y ( cos 2y+ 1. 
Da v 2 reell und positiv sein muss, 
so muss: 
P ^ 
cos 2r/.-f~>l 
sein, denn den negativen Werthen von 
ü ^ 
cos 2'f + ~- entspricht negatives r 2 , de 
nen, die kleiner als 1 sind, imaginäres. 
Dagegen finden für jedes </, welches die 
ser Bedingung genügt, zwei positive 
Werthe von r statt. Der grösste Werth 
von <f ist von q abhängig. Tritt nur 
ein critischer Punkt von f(z) ein, so 
entspricht diesem ein gegebener Werth 
von r und <f, also vermöge Gleichung 
1) ein ganz bestimmtes q, welches die 
Curve U völlig bestimmt, und diese ist 
es dann, innerhalb welcher unsere Ent 
wickelung statt hat, wenn sie keinen 
zweiten critischen Punkt einschliesst. 
Es gibt aber ausser den critischen Punk 
ten für f (s) noch im Allgemeinen einen 
zweiten critischen Punkt für y (u), den 
jenigen nämlich, wo beide Werthe von; 
z = gleich werden, also: 
M = + 2i, 
für diesen Werth ist q = 2, r = l. Ent 
sprechen also den critischen Punkten 
von f(z) nur Werthe von q, die grösser 
als 2 sind, so ist die Entwickelung den 
noch nur für das Innere derjenigen 
Curve U, für welche p = 2 ist, gültig. Je 
grösser q, desto grösser ist auch ver 
möge unserer Ungleichheitsbedingung 
der grösste Werth von y.\ für p = 2 er 
hält man : 
cos 2'/ > — 1, 
eine Bedingung, welche immer erfüllt ist.