Quantität. 
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Quantität. 
Jedem kleineren p aber entsprechen Werthe f {—1) oder beide keine critischen Punkte 
von <i, die kleiner als ~ sind. Von den beiden W erthen von r, die 
In diesem Falle zerfällt die Curve, wie gegebenem entsprechen, wächst der 
leicht zu sehen, in zwei völlig von ein- grössere mit n, und der kleinere nimmt 
ander getrennte Theile, deren einer den wegen der Gleichung r^r. 2 — \ ah, wenn 
Punkt z — 1, der andere den Punkt z =—1 V wächst. Dies zeigt, dass jede Curve 
symmetrisch umschliesst. Beide sind U, die grösserem p entspricht, alle mit 
unter einander congruent und zerfallen kleinerem p völlig einschliesst. 
in zwei congruente Stücke. In einem Nachdem so das Gebiet, in welchem 
derselben oder in beiden findet die Ent- unsere Entwickelung gilt, völlig festge- 
wickclung statt, je nachdem /"(+1) oder stellt ist, kann man in demselben setzen: 
fi* 
+ 
7 i u ')=fi u +V 1-m 2 ) 
zu setzen ist. In gewissem Sinne ist es nun möglich, hieraus eine Entwickelung 
nach positiven und negativen Potenzen herzustellen. Man hat nämlich: 
( 1 \n n n — 2 , n — 4 , . „,n —n 
Z ——j =2 —nz + n 2 Z + ... (—1) 2 , 
Hieraus ergibt sich, wenn man 
wo n, . . . die Binomialcoefficienten sind, 
nach Potenzen von x> ordnet: 
A o = 7" 
(S + 2) 
+ 
■7-"+ 
„(0 
(1 • 2) : 
(« + *) 
J -X u . 
+ (l-2-3) 2 ^ 
, f 0 + 6) 
s-Hl (s+1) (s-f- 2) 2! (s + l)(s + 2)(s+3) 3! 
+ 
•), 
n*) = *o+ 2 
S — l 
A, [t 9 +(-!)* * *], 
00 
wo unter (¡y j der ste Differenzialquotient von <f (u) für m = 0, unter s! der Aus 
druck 1 • 2 . . . s verstanden wird. Ihrem Ursprünge gemäss gilt diese Entwickelung 
nur innerhalb des einen oder andern von der Curve U begrenzten Gebietes. 
Bricht man die Entwickelung mit z- n ab, so darf man auch nur bis zu z 
gehen, und in nur bis zu dem mit multiplicirten Gliede vorschreiten, 
und kommt es dann nicht darauf an, ob die Ausdrücke für A g selbst 
convergiren. Nur wo dies Gebiet innerhalb des Ringes liegt, wo die Entwickelung 
2) convergirt, sind beide zu identificircn. 
Beispiele. 
I. Sei: 
f^ = -~l + ßzr z + ^ 
ct, ß, y beliebige Constanten, deren Moduln jedoch der Bedingung genügen, dass 
mod « < mod ß < mod y ist. Ist dann mod j <mod «, so können die Brüche 
, , nach ganzen positiven Potenzen von s entwickelt werden, und 
{(—a ß— * y—z b r 
man hat: 
A 0 + A t z- + A 2 z 1 -j- . . ., 
111 
A = 
s+ 1 + a s+ 1 + s+ X 
■ ß 7