Quantität. 
750 
Quantität. 
Es ist dies die gewöhnliche Form der Reihe. — Liegt aber der betrachtete Punkt 
z nicht in dem ersten Gebiete, welches die Abscissenaxe einschliesst, so bedient 
man sich der Formeln 1) und 2), welche, im Falle m seinem Modul A gleich 
wird, die Gestalt annehmen: 
2 niz bniz 
f(z) — A 0 -\-A l e ^ +A i e + . . . 
6) 
2 niz 
2'rtiz 
~Ä~ 
-f A_ t e A + e 
~ nS (h — ßi) 
da.*) 
Wie bei allen früheren Entwickelun- reelles z mit Ausnahme der Disconti- 
gen ist ein Zweifel, ob die Reihe con- nuitätspunktc, und allgemein: 
vergire, nur an den Grenzen, also wenn „Wenn auf irgend einer Om parallelen 
z in einer der Linie Om parallelen liegt, Linie Discontinuitäten Vorkommen, so 
welche eine Discontinuität enthält, vor- gilt die Fourricr’sche Reihe noch für 
banden. Denkt man sich nun die beiden die andern Punkte dieser Linie, wenn 
der Abscissenaxe nächsten Discontinui- man sich unter h die Entfernung der- 
täten derselben immer näher rücken, so selben von Om denkt.“ 
wird das Gebiet, in welchem die Ent- Der Beweis hiervon soll jetzt geführt 
Wickelung 5) stattfindet, nur dann statt- werden. 
haft sein, wenn in z~x-\-yi der mit i Wir bemerken zunächst, dass sich 
multiplicirte Theil sehr klein wird. Wenn nicht nur, wie bereits gezeigt wurde, 
diese Discontinuitäten für reelles z statt- der Fall immer auf den zurückführen 
finden, so werden die Grenzen unserer lässt, wo m reell ist, also auf die Reihe 
Entwickelung zusammenfallen und die- 6), sondern selbst auf den Fall, wo z 
selbe entweder gar nicht, oder nur für auf der Abscissenaxe liegt. Denn sei 
reelles z statthaben. Eine höchst merk- z = x-\-yi, so ist y die Entfernung des 
würdige Eigenschaft der Fourrier’schen entsprechenden Punktes von derAbscissen- 
Reihe ist nun, dass in diesem Falle die axe, also nach unserer Annahme für h 
Entwickelung noch immer statt hat für zu setzen. — Man hat dann: 
2 71 i (#4-yi) lini (x-\-yi) 
f{ x +yi) — A 0 +i,c ^ +^2 e A + • • •) 
Offenbar kann man diese Reihe vertauschen mit: 
.¡nix 4nix 
f( xJ rV*)- ß 0 + ^i e A + ^» e ^ 
8) 
2ns cd 
eine Reihe, die ganz mit 5) übereinstimmt, wenn man y constant denkt, x an 
die Stelle von z setzt und: 
*) Eine zweite Entwickelung ist ähnlich wie im vorigen Abschnitt zu finden.