lantität. 
Quantität. 7 53 Quantität. 
-’M-j-1 
affen sind, dass k das- 
sser als a ist, und l 
5 Grösse: 
gration der Ausdruck 
ntegral den Werth zu 
innerhalb der Grenzen 
5—ß) complex ist, der 
erhält man: 
MA 
. Gleiches findet auch 
igern Werth haben als 
e, worin ß einen cnd- 
n alle diese können in 
Bedingungen genügen, 
entsprechen also den 
n 24-A oder von z—A 
fischen 0 und A liegen 
)ch ß—z= — A, solange 
ist. Man erhält dann; 
(2»+l>X 
stattet. Zunächst kann 
. nX ., nX 
sm-r- mit -r zu ver- 
A A 
irlich ist, f(z — X) und 
iegralzeichen schreiben. 
Dies ist aber selbst dann noch der Fall, 
wenn f(z) in s discontinuirlich, jedoch 
nicht unendlich ist, immer werden einer 
seits die Werthe /(zs —A), die kleiner als 
f (z) sind, und anderseits diejenigen 
A), die grösser als f(z) sind, con- 
tinuirlich sein. Endlich kann man die 
Integrale, nachdem der Factor f(z H“ 
herausgerückt ist, also: 
/ 
.sin (2k 4-1) 
nX 
77 A 
dX, 
statt in den Grenzen 0 und v, sogar in 
den Grenzen 0 und co nehmen, denn für 
alle Werthe von A, welche einen end 
lichen Unterschied von 0 haben, ver 
schwindet ja, wie wir gesehen haben, 
das Integral. Nun ist bekanntlich : 
sin hX n 
~lT dl = 2’ 
/: 
wenn h positiv ist, also: 
„co sin (2n+l) ~ ^ 
0 ~~7^X dk= Y’ 
sin -r 
A 
und somit unser Ausdruck 1) gleich: 
Y lf(*-V+i(*+x)]. 
Wird mit A dividirt, so kommt die 
Fourrier’sche Reihe in 4) oder 5) des 
vorigen Abschnitts, und es ist somit di 
rect bewiesen, dass die Summe derselben 
für jedes reelle z, wo nicht unend 
lich ist, beträgt: 
m*-A)+/X*4-A)]. 
A ist eine verschwindend kleine, aber 
positive Grösse. Findet also Continuität 
statt, so hat man: 
/■(*-A) = /(*4-A) = /•(*), 
und die Summe der Reihe ist, wie im 
allgemeinen Falle, Findet Discon- 
tinuität in f(z) statt, so sind f{z—A) 
und /(zfi-A) die beiden Werthe, welche 
in z sprungweise aus einander hervor 
gehen. Die Fourrier’sche Reihe hört 
dann nicht auf zu convergiren, gibt aber 
die arithmetische Mitte beider Werthe, 
Diese Betrachtungen geben höchst 
wichtige Aufschlüsse über die Natur un 
serer Reihe für den betrachteten Grenzfall. 
I) Man kann in dem Integral 1) die 
darin vorkommende Function /‘(^inner 
halb der Grenzen 0 und A mit jeder 
andern identificiren, sie möge die Periode 
A haben oder nicht. Immer wird das 
Integral mit ~ multiplicirt also die Four- 
A. 
rier’sche Reihe f(z) vorstellen, wenn z 
reell ist (oder allgemeiner, alle Werthe 
annimmt, welche auf einer OA oder Oco 
parallelen Graden liegen), so lange z 
zwischen 0 und A ist. Da aber die 
Entwickelung periodisch ist, so wird für 
2' = 2-j-sA, wo s eine ganze Zahl ist, 
die Reihe wieder f(z) geben. Es ist 
also für alle in Frage kommenden Werthe 
von s die Summe der Reihe r/. (2) be 
stimmt durch die Gleichungen: 
7 (2) = /’(2), 
0<2<A, 
v-(*)=■№—sä), 
(s4~ 1) A>z>sA. 
Es hat also r/, (2) die Periode A. 
II) Da innerhalb der Grenzen 0 und 
A auch keinerlei Stetigkeitsbedingungen 
in Bezug auf f («) gegeben sind, so ist 
es selbst nicht nöthig , dass /*(«) inner 
halb 0 A gerade dieselbe irgend wie 
gegebene Function verstelle. Es kann 
z. B., wenn; 
0 <a<h<A 
ist, von 0 bis a /■(«) irgend eine Func 
tion F(«), von a bis b eine andere 7(«), 
und von b bis A eine dritte /{a) vor 
stellen, und alle diese Bedingungen kann 
man beliebigen Discontinuitätsbedingun- 
gen unterwerfen. Es wird dann die 
Summe der Reihe 7 (2) immer eine der 
drei Functionen F(z), 1/^(2), / (2) geben, 
je nachdem 2 in den einen oder andern 
Grenzen enthalten ist. In den Discon- 
tinuitätspunkten aber wird der Werth 
der Reihe die arithmetische Mitte beider 
Grcnzwcrthc geben, welche in dem be- 
zeichneten Punkt stattfinden. Ausser 
halb der Grenzen 0 und A ist die 
Summe der Reihe dadurch bestimmt, 
dass dieselbe periodisch ist. 
Indessen darf die Function 1/ (2) im 
Allgemeinen in irgend einem Punkte 
nicht derart unendlich werden , dass das 
auf eine grade Linie zu erstreckende 
Integral 1) bedeutungslos wird. Ist aber 
eine der Functionen F(z), xp{z), % (z) 
für einen Punkt bezüglich zwischen 0 
und a, oder a und b, oder b und fiL so 
beschaffen, so vermeidet man dies da 
durch, dass man annimmt, die Function 
stelle in dem bezeichneten Punkt eine 
andere nicht unendlich werdende Func 
tion vor, #(m), wo dann der unbestimmt 
werdende Theil des Integrals elirai- 
nirt ist. 
48