Quantität. 
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Quantität. 
Die obengemachten Schlüsse lassen sich aber auch in Bezug auf die Reihe 
2) des vorigen Abschnittes machen. Identificirt man darin r mit dem obern Mo 
dul, wo die Function aufhört, continuirlich oder eindeutig zu sein, und setzt 
und für 2n — A stimmt diese Reihe mit der hier untersuchten überein, wo: 
f(re 9i ) = y(») 
gedacht wird. Hieraus folgt also : 
„In der Peripherie, wo z aufhört, eindeutig und continuirlich zu sein, gilt die 
Entwickelung 2) des vorigen Abschnittes, wenn r der Radius dieser Peripherie 
ist, und diejenigen Discontinuitäten, welche f{z) unendlich machen, eliminirt wer 
den, indem man f durch eine beliebige Function ersetzt. Für den Discontinuitäts- 
punkt stellt dann die Entwickelung wieder das arithmetische Mittel beider Grenz- 
werthe dar.“ 
Da nun immer eine Entwickelung nach ganzen positiven und negativen Po 
tenzen in solchen Peripherien stattfindet, so kann eben darum keine Entwickelung 
nach positiven Potenzen allein stattfinden, die Maclaurin’sche Reihe also ist auf 
der Peripherie des Grenzkreises im Allgemeinen nicht anwendbar. Nur einzelne 
Werthe des Arguments ,9- können möglicherweise eine Ausnahme machen, indem 
für eine solche beide Reihen übereinstimmen. 
Wir wollen hierzu ein Beispiel geben. 
Geben wir zunächst der Function die Periode 2n, so ist in Formel 5) des 
vorigen Abschnittes : 
+ sin 2+ V 2 sin2«+ . . ., 
0 
Nehmen wir ferner an, die Function f(z) möge in den Grenzen 0 und n einer 
andern y (i), und zwischen n und 2n dadurch bestimmt werden, dass in diesen 
Grenzen: 
. , f{z) = <f(2n-z) 
sei. Offenbar ist dann: 
C ■ = — / sin s « y («) da-\ / sin s « у (2тг — «) da. 
71 ' 0 71 J n 
Setzt inan in B g und in den zweiten Integralen 2n — a~ß, so nehmen diese 
bezüglich die Gestalt an: 
1 r n 1 Г 71 
— I cossßij (ß)dß, / sin s ß у (/?) dß. 
Es werden sich also in C beide Theile heben, also sein: 
s ’ 
C =0, 
s ’ 
dagegen in addiren, und man hat für alle Werthe von z zwischen 0 und n: