Quantität. 
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Quantität. 
oder : 
3) 
und : 
Res 
/(*) = 
<f( S 1 \«) 
1*2.. . («—!)’ 
<7 0) = (*-ß) S /■(«). 
Sei jetzt « wieder eine beliebige Discontinuität, jedoch keine Mehrdeutigkeit von 
f(x), und untersuchen wir das Integral: 
welches sich erstrecken soll über eine einfache geschlossene Curve A, welche « 
umgibt und keinen zweiten critischen Punkt enthält. Man kann dann, da für 
alle diese Bedingung erfüllenden Umfänge der Werth des Integrals derselbe ist, 
demselben die Peripherie eines Kreises substituiren, dessen Mittelpunkt a und dessen 
Radius beliebig klein ist. Man hat dann als Werth des Integrals, wenn p der 
Radius ist: 
if /" (а -}- p e't *) p e^dq. 
J 0 
/Ч«+(>е1 г ) = Л 0 +Л 1 çe' fl + A 2 p 2 e ¿ 'f l -\- 
2 а г 
■>. T _ 
wo also: 
+*i (?’ 
■?» 
B i = Res f(x) 
Г 
.(Л) 
— 2 - 
p e 
•2 (fl 
+ 
ist. Pührt man die Integration aus, so 
sieht man leicht, dass alle Glieder, welche 
nicht B v entsprechen, also mit Potenzen 
von e* 1 behaftet sind, Integrale geben, 
die für 0 und 2ti gleich werden, also 
verschwinden, und es bleibt nur der 
Theil: 
/ 2 Tt 
B t df = 2 ni B t 
o 
übrig. 
II. Der Werth des Integrales: 
,{Ä) 
fW dk, 
pv*) 
4) / f{k) dk = 2ni 2 Res/X«) 
die Residuensumme ausgedehnt auf alle 
umschlossenen Discontinuitäten. 
Leicht ergibt sich hieraus auch: 
IV. Erstrecken sich die Integrale 
AA) r {ß) 
j f(k)dk, j f(k)dk über zwei ge 
schlossene einfache Curven derart, dass 
Curve B von Curve A ganz umschlossen 
wird; sind ferner in dem Ringe zwischen 
B und A nur Discontinuitäten, die nicht 
mehrfache Punkte sind, vorhanden, so 
hat man: 
5) 
ausgedehnt über eine den Discontinui- 
tätspunkt «, der jedoch kein mehrfacher 
Punkt ist, umgebende geschlossene Curve, 
welche keinen zweiten critischen Punkt 
enthält, ist gleich 2aiRes (( f(x). 
Möge aber jetzt eine einfache ge 
schlossene Curve mehrere Discontinui 
täten umschliessen, so wird der Werth 
des über sie zu erstreckenden Integrals 
gleich dem der Summe derjenigen Inte 
grale sein, welche sich über Curven er 
strecken, die von der ersten umschlossen 
sind, und jede einen Discontinuitätspunkt 
umgeben, also: 
r (A) 
III. Erstreckt sich j f(k)dk über 
eine einfache Curve, die mehrere Dis 
continuitäten umschliesst, so ist; 
АЛ) 
J f(i)dl 
f 
(ß) 
f {k)dk+2ni 2 Res fix). 
Die Residuensumme erstreckt sich über 
alle zwischen A und B liegenden Dis 
continuitäten. 
Diese wichtigen Sätze geben unter 
Anderm Methoden zur Berechnung be 
stimmter Integrale. (Vergleiche den Ar 
tikel : Quadratur, analytische, Abschnitt 42). 
Es sollen hier einige andere Anwen 
dungen dieser wichtigen Theorie folgen. 
Selbstverständlich kann die Eunction 
f{x) auch rational und endlich sein. Sei 
demnach gegeben wo u, und xb 
VW 
Polynome bezüglich vom »iten und nten 
Grade sind. Jeder Wurzel der Gleichung