Quantität. 
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Quantität. 
xp(x)~ 0 entspricht dann ein Residuum. Die Anzahl derselben ist aber der An 
zahl der ungleichen Wurzeln gleich, also nur n, wenn diese Wurzeln alle ungleich 
sind. Die Summe der allen Wurzeln entsprechenden Residuen ist nun offenbar 
j n) 
— / - ■ ■— dk erstreckt auf eine Curve, die alle Wurzeln von xp(x) = 0 ein- 
2n J ■' 
schliesst; machen wir die Substitution k = —, so kommt: 
/*. 
2 n i 
6)’ 
streckt auf eine Curve, die den Punkt /u = 0 allein umgibt, für die also auch ein 
Kreis mit abnehmendem Radius substituirt werden kann. Ist nun m kleiner als 
n, so hat man, wenn man n—m-\-h setzt: 
% 
.+— h—2 
m 
f* 
(i) 
a, 
flr 0 +- + 
4* 
H'xp 
(i) 
^(¿o+^ + 
+■ 
in-j- h‘ 
(a 4- a , u-\- . . .) 
' m 1 m — l " 1 ' 
• 1 • • • 
+A- 
fc^ + "‘ +, 4 
wenn man, wie für abnehmendes pi immer geschehen kann, den Brach in eine 
Reihe entwickelt, also wenn man statt der Curve B einen Kreis mit abnehmen 
dem Radius r nimmt, und demgemäss die hohem Potenzen von r vernachlässigt: 
S Res 
'4 0) _ 1 
h — 
xp{x) 2nb m+h 
T 
(A-i)yi 
df, 
ein Ausdruck, welcher verschwindet, wenn h grösser als 1 ist, und für h — 1 
a 
übergeht in 
tn-\~h 
Also : 
V. Die Summe aller Residuen des Bruches ist gleich Null, wenn xp (x) 
ein Polynom ist, das um mehr als einen Grad höher als y (x) ist. Die Rcsiduen- 
summe ist gleich dem Yerhältniss des Coefficienten der höchsten Potenz von (f(x) 
zu dem der höchsten von xp(x), wenn letzteres um einen Grad höher ist als 
ersteres. 
Nach Formel 3) ist noch, wenn « eine sfache Wurzel der Gleichung 
xp(x)=0 ist; 
er> Ca;'! 1 d S 
6) 
Res 
V 0*0 _ 1 
“ xp(x) 1 • 2...(s—1) dx s 
(x)\ 
• I ' xp (x) f 
wo nach dem Differenziiren x~a zu setzen ist. Für s = l ist noch: 
6 a) 
Res 
<4'( x ) _ (x—a) 7 Q) 
u xp(x) xp (a) 
<4 («) 
xp' («)* 
Da nämlich Zähler und Nenner Null werden, kann man dafür ihre Differenzial 
quotienten für den Werth x— « substituiren. 
Einer der Hauptvortheile der Residuenrechnung ist der, dass sie oft dann all 
gemeine Ausdrücke gibt für Formeln, deren Beschaffenheit sich ändert, je nach 
dem gewisse Gleichungen mehr oder weniger gleiche Wurzeln haben. 
Wir wollen dies an einem Beispiele zeigen, welches die Theorie der linearen 
Differenzialgleichungen betrifft, und zwar stellen wir uns eine ganz allgemeine 
Aufgabe.