Quantität. 
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Quantität. 
oder = 0, 
je nachdem Punkt z innerhalb oder ausserhalb des von Ä begrenzten Raumes 
liegt. — Die Residuensumme geht auf alle von A umschlossenen Discontinuitäten 
von f(u). Diese Summe ist positiv genommen, da man statt ——— ge- 
u—z z— u 
schrieben hat, wodurch die Function und offenbar auch die Residuen derselben 
das Zeichen ändern. 
Lässt man die Curve A sich ins Unendlishe ausdehnen, so ist die linke Seite 
immer für jedes z gleich f(z), also: 
1) 
f(*) = 2 Res^^-+ . 
i—u 2ni 
hr 
f(i)di 
die Summe auf alle Discontinuitäten von 
f(z) erstreckt. 
Beschäftigen wir uns jetzt noch mit 
dem zweiten Gliede rechts. — Da A im 
mer grösser als z ist, so kann man: 
setzen, und dies Glied gibt also eine 
nach positiven Potenzen geordnete Reihe. 
Man kann nun statt der geschlossenen 
Curve A (vergleiche Abschnitt 4), welche 
alle Discontinuitäten umgibt, eine andere 
setzen, welche den Unendlichkeitspunkt 
allein einschliesst, oder genauer gesagt, 
. f(k) 
man kann in j di für i setzen 
—, und da i bis ins Unendliche wächst, 
/*. 
wird fx unendlich klein werden. Man 
erhält auf diese Weise: 
-/ 
(*) 
f&) 
dfx, 
ist, also: 
Dies ist 
aber: 
A — z 
1 
Q ~ F(-»Y 
die Gleichung von B. Es ist 
F(—F-\- 2nn) = F{ — S-), 
also die Curve ebenfalls geschlossen. 
Da aber S■ das entgegengesetzte Zeichen 
von (p hat, so findet die Windung von 
B, also die Richtung der Integration 
im entgegengesetzten Sinne von A statt. 
Man kann also, indem man beide Inte 
grationen im gleichen Sinne vollzieht, 
setzen: 
f 
U) äl= 
_ r 
J /“(!—■S/M)’ 
indem man mit der Umkehrung der In 
tegrationsrichtung das Minuszeichen com- 
pensirt. 
Ist die Curve A ein Kreis, so ist auch 
B ein solcher (vergleiche Abschnitt 4). 
Man darf aber nicht schliesscn, dass man 
immer für A und B jede beliebige ge 
schlossene (bezüglich unendlich grosse 
und unendlich kleine) Curve A' und B f 
setzen könne. 
Es sind hierbei nämlich zwei Fälle zu 
unterscheiden: 
I) f(z) ist für jedes unendliche z dis- 
B. bis — 
n 
z 
der Fall ist. 
II) f(z) ist nur für gewisse Werthe 
von z discontinuirlich. Z. B. bei tgz 
ist dies der Fall, wenn z = n, und 
s — go genommen wird; für jedes andere 
unendliche z aber findet noch Continui- 
tät statt. 
fx(l-Z/x) 
wo B die neue Curve vorstellt. 
Was die Gleichung dieser Curve an 
betrifft, so lässt sie sich leicht aus der 
von A ableiten. Denn wie auch letz 
tere beschaffen sei, so lässt sich setzen: 
z = re'f\ r=:F (</■), 
wo z ein beliebiger Punkt dieser Curve 
ist, und tp von 0 bis 2n, wenn sie ein 
fach gewunden, sonst von 0 bis 2mt zu 
nehmen ist. Jedenfalls ist dann ; 
F{ v ±2nn)=F{>i). 
Dies ist die Bedingung, dass die Curve 
geschlossen sei. Für B ist nun zu 
setzen: 
1 Fi 
u = -= Q e , 
continuirlich, wie dies z. 
wo: