antität. 
Quantität. 
765 
Quantität. 
A begrenzten Raumes 
enen Discontinuitäten 
/■(«) 
f(u) 
statt 
u—z z- 
e Residuen derselben 
gc- 
so ist die linke Seite 
# = ~<f> 
1 
hung von B. Es ist 
>i u) = F(-ff), 
ebenfalls geschlossen, 
gegengesetzte Zeichen 
det die Windung von 
itung der Integration 
en Sinne von A statt, 
dem man beide Inte- 
shen Sinne vollzieht. 
¡U (1 — Zy.y 
r Umkehrung der In 
las Minuszeichen com- 
ein Kreis, so ist auch 
rgleiche Abschnitt 4). 
tt schliessen, dass man 
B jede beliebige ge- 
ich unendlich grosse 
ae) Curve A' und B' 
lämlich zwei Fälle zu 
;des unendliche z dis- 
dies z. B. bis — 
für 
lieh. 
enn 
gewisse Werthe 
Z. B. bei tgz 
2s-j-l , 
• = —s— n i un d 
ird; für jedes andere 
findet noch Continui- 
Beschäftigen wir uns mit dem letzte 
ren Falle zuerst. Dann ist die Annahme 
eines Unendlichkeitspunktes eigentlich 
gar nicht gestattet. Lässt man Curve 
A sich in A' ändern, so befinden sich 
zwischen beiden Discontinuitäten, und 
damit eine Curve für die andere gesetzt 
werden kann, ist es nicht allein nöthig, 
dass das Residuum einer jeden einzel 
nen davon in Gleichung 1), sondern dass 
auch die Summen aller sich der Null 
nähern. Was die Curve B anbetrifft, so 
werden sich die Discontinuitäten von 
f(z) = f(^-j im Punkte u gleich 0 mit 
zunehmender Dichtigkeit schaaren. 
Um bei diesem wichtigen Gegenstände 
noch einen Augenblick zu verweilen, 
denken wir uns für A einen Kreis mit 
zunehmendem Radius, und die darin ent 
haltenen Discontinuitäten etwa nach con- 
centrischen Kreisen geordnet, in die 
Summe in 1) aufgenommen. Anderer 
seits sei A f ein Parallelogramm mit zu 
nehmenden Seiten, und die Discontinui 
täten innerhalb desselben etwa einer Seite 
parallel geordnet. Da nun Parallelo 
gramm und Kreis sich nicht decken, so 
stimmt ein Thcil der Discontinuitäten, 
freilich nur die ins Unendliche fallenden, 
in der Entwickelung von f(z) in Glei 
chung 1) nicht mit einander überein, ob 
gleich beide Entwickelungen convergiren. 
Man sagt dann gewöhnlich, wiewohl mit 
Unrecht, dass die Entwickelung von der 
Anordnung abhänge. Sie hängt in der 
That von den Gliedern selbst ab, die 
nicht alle übereinstimmen. 
Finde jetzt Fall I. statt Da f(z) für 
jedes unendliche 2 discontinuirlich ist, 
so findet mit f für m = 0 dies statt, 
jede abnehmende Curve B oder B', die 
u = 0 umgibt, schliesst also nur einen 
Discontiuuitätspunkt, den Unendlichkeits 
punkt, ein, und das Vertauschen beider 
Curven ist gestattet. Also immer, wenn 
Fall II. gilt, können wir für B einen 
Kreis setzen, dessen Radius abnimmt, 
und es ist das Integral; 
J 
(*) 
'(D 
du 
l u (1 — z /u) 
auf denselben auszudehnen. Der Werth 
dieses Integrals ist: 
Res 
MiL). 
V (1 - zv)/ 
+ 
a - + . 
(1 — Z v)y 
Unter dieser Bezeichnung ist das Resi 
duum des eingeklammerten Ausdruckes 
für die Discontinuität v = 0 verstanden. 
Man kann aber immer setzen: 
s— i 
• • H : h«, +«. i. „ . • ., 
* Iw 1 
s + l 
wo für s = 0 eine Discontinuität s ter Ordnung vorausgesetzt ist. 
Keiner Discontinuität entspricht s = 0, einer zweiter Gattung s— co. Setzt 
man noch, da v abnimmt: 
1 = —+a-f s g r+s 3 . . ., 
® (1 — zv) v 
so erhält man, indem man diese Entwickelung mit der von f multiplicirt, 
is mit — behaftete Glied nimmt: 
, MD) 
Res \ —tz———r f —a 
0 \v (1 — 5 v)/ s 
aber nur das mit 
—- / — a -\-a -f-s + a z a -}- . . . -j~a 0 z , 
11 1 / S 0 
d. h. dieser Ausdruck ist gleich dem nicht mit negativen Potenzen behafteten 
Theile der Entwickelung von f{z), welche für wachsendes z, d. h. für z = — in 
der Nähe von d = 0 gilt. 
Diesen Theil der Entwickelung bezeichnen wir mit B'^f^z) und haben also: 
Res 
Mia 
\u(l— %v)J 
=*’*№•