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lantität. 
änkt sich dieser Aus- 
Gattung, so hat man: 
n 1) auf ähnliche Art 
jezogen , der von s ter 
\- b s+ ,(«““) + 
behaftete Glied, 
m—« 
• • • + 7^’ 
lach dem Maclaurin- 
-«)*/(*). 
Differenzialquotient 
y№\o) 
J) und 3) folgt nun: 
Function lässt sich 
u vermehrt um eine 
b g 
iche aus- 
(* — «)* 
unction hat entweder 
ler ganzen Function 
onalen Bruches. 
2) und 3) enthalten 
ehraischen und trans- 
üche. Im ersten 
eine endliche. Sie 
n Falle bekanntlich 
;ge herleiten, 
llen wir uns noch 
j des von A abhän- 
Quantität. 
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Quantität. 
gigen Integrals beschäftigen, — Man kann nämlich, da die Curve ins Unendliche 
wächst, der Modul von z also immer kleiner als der von X ist, die schon ange 
führte Entwickelung annehmen: 
‘(A) f{X) dX _ riA) f(X) dx ^, »« , «»_ ( V, MfJMh 
J(A) /•(;■) dx_ J'{ 
X-z J I a v ' X ' X* ' - - -/ 'J X 
Ist nun die Curve derart, dass auf ihr f(X) immer endlich bleibt, wie dies in 
dem bezeichneten Falle immer geschehen kann, da man nur in A die Disconti- 
nuitäten zu umgehen braucht, so ist: 
moifW (*+y+ • • )<amoäf( A) £[*+ Z T + . . .), 
wo a der grösste Modul ist, den f(k) annehmen kann. Das Integral, dessen 
s 
z 
Modul mit a multiplicirt ist, hat zum allgemeinen Gliede des Argumentes ——— ; 
i s t 1 
ein Ausdruck, der für eine geschlossene Cm-ve ver- 
, _ , . 1 2 
das Integral ist — 
s , s 
A 
schwindet, da Anfangs- und Endpunkt zusaramenfallen. Man kann also in diesem 
Falle das Integral in 1) ersetzen durch das einfachere: —^J* ^ ^ fW^X 
In dem 
1 a) 
hier hingestcllten Falle wird die Reihe der Glieder mit positiven Potenzen sich 
auf eine Constante beschränken. Also statt 1) erhält man: 
•(A) f( t )dX 
X 
Man kann aber auch leicht entsprechende Formeln finden, die nur für einen 
Theil der Ebene gelten. 
Seien A und B einfache geschlossene Curven, die keinen Windungspunkt 
einschliessen, die letztere ganz innerhalb der ersten, z ein zwischen beiden ent 
haltener Punkt, so gibt Formel 5) des vorigen Abschnitts: 
i 
2mJ X— z 2/n_ 
Die Summe geht auf alle zwischen A und B liegenden Discontinuitäten. Es tritt 
nämlich das z = u entsprechende Residuum, welches gleich f(z) ist, hinzu, ganz 
wie oben. 
Ersetzt man A und B durch concentrische Kreise, deren Mittelpunkt der An 
fangspunkt ist, so wird, wie in Abschnitt 17), sich das erste Integral nach posi 
tiven, das zweite nach negativen Potenzen von z entwickeln lassen, und man 
erhält: 
^ \ vT)«.. C/ V' / J , A I A m I A -2 I I ^ l 
(«)ZW rfi + ^ Ees E£Wl =№) . 
X—z z—u 
f{z) = 2Res ^^+A 0 -\-A l z+A 2 z a + 
H—~ + ~f+ 
271 f («) d lf , 
Ul 
f “ r P. • 
A ^ i 
* 2nJ 0 
-| 2 7t • 
nf ß = ee ''■ 
r ist der Radius des grossem, p der des kleinern Kreises. Es ist wohl zu be 
merken, dass man hier nicht wie in Abschnitt 17) r und p mit einer zwischen 
ihnen liegenden Grösse vertauschen, eben so wenig beide identificiren kann, da 
der Ring Discontinuitäten enthält, und mit dem Ueberschreiten einer solchen die 
Integrale sich ändern. 
Ist der Anfangspunkt kein Windungs- oder Discontinuitätspunkt, so fällt der 
Ausdruck we g f fü r c j nen Raum bis zum nächsten critischcn Punkte, und 
man hat in 4) B =0.