Quantität. 
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Quantität. 
f_M 
n*) 
„dass für jede Null und Discontinuität von f(z) eine solche von 
stattiindet, und dass alle diese von der ersten Ordnung sind.“ 
Denn sei « eine Discontinuität von f[z), so ist: 
¿01 ¿1 , ¿2 
/■(*) = 
(z — ß) * (z — «) s * (z — ß) 
wo cf (z) für z~cc continuirlich ist, also: 
^>=-(-^ + 5^ 
\(z — ß) (z—ß) 
, s— 1 . b 
h -i- . /»- (<r—r*\ -J— -L 
r (») = 
f( 2 ) ■ 4— ¿„ + 6 l( 2 —«) + . . . A (z—rt) a ' -f-r/. (2;) (s— f<) a 
Der Ausdruck in der Klammer wird für 2 = ß nicht unendlich, also ist in der 
That die Discontinuität erster Ordnung, und; 
Kes (/$.)=_* b m=—l, 
ß \ f{z) / ß f(z) Z—ß 
Sei ferner f(z)=0 für z= ß, so ist: 
fi^ = a n ^-ßf+ a n+1 ^~ is) w+, + • • •> 
denn jedenfalls verschwindet das von z — ß freie Glied. Ausserdem mögen noch 
n—1 Anfangsglieder verschwinden; wir sagen dann, f{z) habe für z — ß eine Null 
von nter Ordnung. Es ist dann: 
+ 
s—2 
s—1 
+ .. • +- +?'(*), 
+ • • • + 7jp + f f 
(2 — ß) 2 
' wV 
¿0 +—^¿1(2—«)+ • • ■ + S (2— ß) S 1 +f//(2)(2 —ß) S 
\S 1 
f ( 2 ) = na n {z—ß) n 1 +(« +1) a n+x (* — ßf+ 
n f / v ci 4 a (2—/5)4- . . . 
f* (2) _ M n n n-f-1 v r 
Res 
f{z) z—ß a n + a n+i (z—ß)+ . . . 
und da der Ausdruck in der Klammer für z — ß die Einheit gibt, so ist die Dis 
continuität erster Ordnung, und: 
“ß' f (2) / ’ ß fiz) ~ z-ß 
Die Residuen sind also diejenigen Zahlen, welche die Ordnung der Null oder 
Unendlichkeit von /’(2) anzeigen, im letztem Falle negativ genommen. Man hat 
also : 
dz ß z-ß ß 2—ß 
wo der Ausdruck U eine nach ganzen Potenzen von 2 fortschreitende Reihe an- 
gibt, und man hat, je nachdem Fall I, oder II. für die Function —stattfindet, 
IW 
entweder: 
oder: 
U-B\ 
=— r 
2ni / 
[M 
00 /(*) ’ 
(A) dlgfjl) 
k—z 
Den eben gefundenen Werth von d^& fi z ) j n t e g r ; ren w ; r ¡ n ,j en Grenzen z und 
dz 
z 0 , derart, dass z 0 keiner Unendlichkeit und Null von f (z) entspreche. Man 
erhält: