Quantität. 
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Quantität. 
Jeder Factor des Productes n lässt 
sich auf diese Weise in einen Quotien 
ten von je zwei Factoren im Zähler und 
zweien im Nenner zerlegen. 
23) Entwickelung mehrdeutiger 
Functionen. 
Es ist wichtig, zu untersuchen, in wel 
cher Weise sich eine Function in der 
Nähe eines Windungspunktes entwickeln 
lässt, einen Fall, den wir bis jetzt aus 
geschlossen haben. 
Zunächst ist klar, dass wenn f(z) eine 
n deutige Function ist, und für einen 
Punkt A p Werthe von gleich wer 
den , deshalb noch A kein Windepunkt 
p ter Ordnung zu sein braucht. Sei 
nämlich; 
P=Pi+P* + • • • +/V 
wo p t , p 2 . . . ganze positive Zahlen 
sind, so können von den ersten p i Wer- 
then von f(z) bei jeder Umkreisung von 
A jeder in den folgenden, und der letzte 
wieder in den ersten übergehen; Glei 
ches kann mit den folgenden p 2 statt- 
finden u. s. w. Der Punkt ist dann für 
die ersten p v Werthe ein Windepunkt 
von der Ordnung p t , für die folgenden 
p 2 von der Ordnung p 2 u. s. w. Ist 
p t = 1, so ist der Punkt für diesen Werth 
kein Windepunkt, und ebenso für die 
übrigen n—p Werthe von f(z), welche 
in A nicht gleich werden. 
Es fragt sich nun noch, wie diejenigen 
Werthe von f(z) zu bestimmen sind, die 
in der Nähe von A in einander über 
gehen. Sei q ihre Anzahl, f t (z), f. (z) 
• ■ • f q ( z ) die entsprechenden Functions- 
werthe, r eine beliebige Grösse, deren 
Modul jedoch kleiner ist als die Entfer 
nung zwischen A und dem ihm nächsten 
Windungspunkte. Dann ist: 
f i (A+Te 2ni ) = f 2 (A+T), 
A (A+Te 2nt )=f 3 (A+t) 
f q _ x {A + re 2n ' l ) = f q {A+T), 
(ä+t). 
Sei jetzt: 
i 
y - (z -A) q , f $ (z) = q (y), 
wo s eine der Zahlen 1 bis q anzeigt. 
In allen Gebieten, wo f {z) eindeutig 
ist, findet Gleiches mit q(y) statt, denn 
jedem y entspricht nur ein Werth von 
z, nämlich: 
* = A+y <i ‘ 
Sei jetzt: 
l 
z = A-J-r, also y = . 
Aus den Relationen zwischen f v ,f 2 ... 
f ergibt sich aber sogleich: 
f s {A+Te- C J ni )=f s {A+r), 
welchen der Werthe 1 bis q auch s vor 
stelle, also auch; 
f s iA+y(e 2n Y] = f s iA+y% 
oder: 
'/ (y e2n *) ='/ 0/)> 
d. h.: 
„Bei einer Windung um den Punkt 
y = 0 ändert q (y) seinen Werth nicht. 
Die Fnnction ist also in diesem Punkte 
eindeutig.“ 
Es lässt sich also in der Nähe des 
Windungspunktes A die Function / s (z) 
nach ganzen positiven Potenzen von 
i 
y = (z—A) ^ nach dem Taylor’schen Satze 
entwickeln. Die q Werthe von y geben 
hierbei die q Ausdrücke f L (z), f 2 (z) , . . 
fq(*) und diese Entwickelung findet in 
nerhalb eines Kreises statt, dessen Ra 
dius gleich der Entfernung zwischen A 
und dem nächsten Windungspunkte ist. 
Es ist hierbei vorausgesetzt, dass für 
z —A die Function nicht discontinuirlich 
sei. Fände dies aber auch statt, so ist 
leicht zu sehen, dass die Werthe /\ (z), 
f 3 (%)... f (z) in convergirenden Rei 
hen nach positiven und negativen ganzen 
<1 
Potenzen von V (z—A) entwickelt wer 
den. Beide Entwickelungen gelten bis 
zu demjenigen Discontinuitäts- oder Win 
dungspunkte, der A am nächsten ist. 
Es gibt aber auch eine Entwickelung 
nach ganzen positiven Potenzen und Par- 
? 
tialbrüchen von y = Y(z—A), wie in Ab 
schnitt 17) Formel 8) gezeigt wurde, und 
diese erstreckt sich über beliebige Dis- 
continutäten, jedoch nur bis zum nach-