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Quantität.
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n
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3 1 n
itig sein kann, als
i Grössen beliebige
i eintreten lassen,
i bringen aber keine
wenn die Function
eine symmetrische
ische. und rationale
he einer n deutigen
e eindeutige Func-
lach folgende ein-
an x\
l n
ung 2) noch näher
i Formeln 1) klar,
in einem Punkte
n, ohne dass we-
ctionen «„ M a . ..
te unendlich wird,
Satz:
HI. „Jede ndeutige Function muss
wenigstens einmal unendlich werden.“
Es lässt sich aber auch Folgendes
beweisen:
IV. „Wenn in irgend einem Punkte
einer der Werthe von f{x) unendlich
wird, so muss dies auch mit einem der
Coefficienten der Gleichung 2) statt
finden.“
Denn angenommen, es würde «, un
endlich, während v., v. . . . v endlich
blieben. Es könnte dann die letzte der
Gleichungen 1) nur dann stattfinden, wenn
gleichzeitig ein anderer Factor der
Kuli gleich würde. Ist dieses aber der
Fall, so wird die vorletzte Gleichung
die Gestalt annehmen:
indem alle andern Glieder verschwinden.
Es muss also, wenn v
endlich sein
soll, ein Factor u verschwinden. Man
n— i
hat dann:
“l "ä
also auch :
. ~v
n—i n—V
„=0
u. s. w., so dass schliesslich die Glei
chung :
+ • • ■ + M M = 15 i
sich verwandelt in:
also m, müsste endlich sein, was der
Annahme widerspricht.
Es ist also jede Discontinuität der
Functionen u durch eine Discontinuität
in den Coefficienten der Gleichung «ten
Grades angedeutet. Da nun ganze Func
tionen nur für j; = go discontinuirlich
werden, so ergibt sich:
Y. „Wenn in der Gleichung «ten
Grades, welche die Function u definirt,
alle Coefficienten den Charakter ganzer
Functionen von x haben, so kann kei
ner der Werthe von u für endliches x
discontinuirlich werden,“
Mögen jetzt die Coefficienten für end
liches x nur Discontinuitäten erster Gat
tung enthalten, so lassen sich dieselben
immer durch Formel 1), Abschnitt 18)
darstellen. Finde z. B. für x = u eine
solche Discontinuität statt, die in einem
oder mehreren Coefficienten Vorkommen
kann, aber in keinem von einer hohem
als von der sten Ordnung sein möge.
Die Coefficienten V erhalten dann im
Nenner einen Factor (x —«/, wo t in
keinem derselben grösser als s sein kann.
Man setze dann:
V
{x — «)
und die Gleichung 2) nimmt die Ge
stalt an:
rrW / T 7 W— 1
U — 15, (X— «) U
+v 1 {x-a) 2s U n ~ 2 + . . .
±® M («-«)"*,
und es werden die Coefficienten der
neuen Gleichung;
... (x—«) s , 152 (x—«) 2s . . .
jedenfalls den Factor x—u nicht mehr
im Nenner haben.
VI. „Durch eine Transformation kann
die Gleichung 2) auf eine Gestalt ge
bracht werden, wo jede beliebige Dis
continuität aus den Coefficienten ver
schwindet , also schliesslich auf eine
solche, wo dieselben ganze Functionen
sind, falls nicht die Coefficienten für
endliches x Discontinuitäten zweiter
Gattung enthalten.“
Neben dieser allgemeinen Form für
die «deutigen Functionen geben wir noch
eine andere Form, welche in der Um
gebung der Windungspunkte gilt. Mö
gen in Punkt A die Functionen «,, u 2
. . . m in einander übergehen, so ist
wie oben zu zeigen, dass die symmetri
schen und rationalen Functionen dieser
j) Grössen in der Umgebung von A ein
deutig bleiben, d. h. so lange, bis kein
zweiter Windungspunkt überschritten
wird, wo eine Function aus der Reihe
u in eine andere u , die
*’ 2 j) q
nicht darin enthalten ist, übergehen kann.
Es wird sich also eine Gleichung bilden
lassen:
3) «P 2
+ •• •
wo «,, uj . .
«
P
Functionen
von
x
sind, welche eindeutig bleiben, so lange
kein zweiter Windungspunkt überschritten
wird. Ist der Windungspunkt nicht gleich
zeitig ein Discontinuitätspunkt, so wer
den innerhalb des Convergenzkreises um
Punkt A sich diese Coefficienten nach
ganzen positiven Potenzen von x ent
wickeln lassen. D. h.:
