Quantität. 
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Quantität. 
Es ist also in Bezug auf die einer 
Gleichung, ^wa: 
K 2 = 0, 
entsprechenden ß der Punkt ein Win 
dungspunkt von höchstens p—p ^ oder 
(f. ster Ordnung. 
Da aber in den Entwickelungen der 
ß, die hierhin gehören, die Coefficienten 
l 
der Anfangsglieder x s von einander 
verschieden sind (es war angenommen, 
dass diese ungleich seien), so theilt sich 
diese Klasse wieder in y- Gruppen, und 
für jede derselben kann der mehrfache 
Punkt höchstens ein Windepunkt s ter 
Ordnung sein. Das ist er aber auch in 
der That, denn wäre dies nicht der 
Fall, so müssten sich die s zugehörigen 
Werthe von ß noch in andere Gruppen 
zerlegen lassen. Möge eine solche aus 
s' Grössen ß bestehen, wo s' also klei 
ner als s ist, so fände Entwickelung 
1 
nach Potenzen von a statt, und es müsste 
T , 1 
— ein Vielfaches von — r sein, also: 
s s 
r h 
was, da r und s keinen Factor gemein 
haben, nur möglich wäre, wenn p — mr, 
s' — ms wäre, also s' grösser als s, was 
der Voraussetzung widerspricht. 
„Es zeigt unsere Betrachtung also, 
dass der mehrfache Punkt in Bezug auf 
je y. der Gleichung K 2 = 0 entsprechen 
den Wurzelwerthe ein Windungspunkt 
ster Ordnung ist. Er ist für alle diese Wur 
zeln ein Windungspunkt von Ordnung 
— p^, wenn y = 1 ist; er ist gar kein 
Windungspunkt in Bezug auf diese Klasse 
der ß, wenn s = l ist. Gleiches gilt für 
alle übrigen Klassen.“ 
Es ist aber jetzt noch der Fall zu un 
tersuchen , wo einige der Wurzeln der 
Gleichung 2) gleich sind. Möge sie t 
gleiche Wurzeln x t haben. 
Dann gibt jeder von ihnen herrüh 
rende Ausdruck t Werthe von ß: 
1_ 
(#,« r ) s durch dieselbe Näherungsfor- 
mel. Diese entsprechenden t Werthe 
von ß können sich also nur in dem fol 
genden Gliede der Entwickelung von 
einander unterscheiden, und es muss zu 
diesem vorgeschritten werden. Man setzt 
somit in die Gleichung 1): 
l 
« = «i S , ß = *i S "S+ßi- 
Es ergibt sich dann eine Gleichung zwi 
schen «, und ß 2 , die der Gleichung 1) 
ganz analog ist; sie wird st unendlich 
kleine Werthe von ß x geben, denn zu 
jedem gehören ja s Werthe von ß, 
die Ordnung dieser ß t aber muss höher 
als die rte sein in Bezug auf 
Diese neue Gleichung wird ganz wie 
Gleichung 1) behandelt, führt also zu 
Gleichungen, die: 
K i= 0, K t = 0 . . . 
analog sind. Von letzteren aber sind 
nur die zu berück sichtigen, welche Werthe 
von ß 2 ergeben, die in Bezug auf «, 
von höherer Ordnung als der rten sind. 
In eine dieser Gleichungen 7f' = 0 wird 
nun gesetzt: 
für passend gewählte ganze Zahlen 
und s t ganz wie oben, und man erhält 
die der Gleichung 2) analoge: 
3) ... =0. 
Von dieser setzen wir voraus, sie ent 
halte keine gleichen Wurzeln, und sei 
eine derselben, so hat man wie 
oben: 
i r. 
also: 
l l r j l r 
1 r t 
Es findet also, da: 
r r S J 
s ss t 
ist, in der That ein Fortschreiten nach 
i 
Potenzen von « SSl statt, und ß muss 
nach dem Taylor’schen Satze nach die 
ser Grösse entwickelt werden. Man er 
hält auf diese Weise wegen der Viel- 
i 
dentigkeit von u S Sl s s t Werthe ß; eine 
zweite der neuen Gleichungen: 
A'=‘0 
wird s s 2 Werthe ß geben, so dass: 
s i+ s 2+ • • • + s n =::i